Теория чисел: В классе больше 10, но не больше 26 человек,... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГЭ 2023 (основа)

В классе больше

10

, но не больше

26

человек, доля девочек не более

46\%

.

а) Может ли в классе быть

9

девочек?

б) Может ли в классе быть

55\%

девочек, если придёт ещё одна?

в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка?

Решение

Пусть в классе

d

девочек и

m

мальчиков. Тогда

10 < d + m \leq 26

\frac{d}{d + m} \leq \frac{46}{100} = \frac{23}{50}.

a) Проверим, может ли быть

d = 9

.

Тогда должно выполняться неравенство

\frac{9}{9 + m} \leq \frac{23}{50}.

Получаем:

450 \leq 23(9 + m),

450 \leq 207 + 23m,

23m \geq 243.

Значит,

m \geq 10 \frac{13}{23}.

Например, при

m = 11

получаем 20 человек в классе и

\frac{9}{20} = 45\%.

Это не больше 46%, значит, такой класс возможен.

б) Предположим, что после прихода одной девочки доля девочек стала равна 55%.

Тогда

\frac{d+1}{d+m+1} = \frac{55}{100} = \frac{11}{20}.

После прихода одной девочки в классе будет от 12 до 27 человек. Чтобы доля равнялась

\frac{11}{20}

, общее количество человек должно быть кратно 20. В нашем диапазоне подходит только

d+m+1 = 20.

Тогда

d+1 = 11,

откуда

d = 10.

Значит, до прихода девочки в классе было 19 человек, из них 10 девочек. Тогда доля девочек была

\frac{10}{19} > \frac{23}{50},

поскольку

10 \cdot 50 = 500 > 437 = 19 \cdot 23.

Получили противоречие с условием.

в) Сначала покажем, что доля больше 50% невозможна.

Если после прихода одной девочки доля девочек больше 50%, то

\frac{d+1}{d+m+1} > \frac{1}{2}.

Тогда

2d+2 > d+m+1,

d+1 > m.

Так как

d

m

--- целые числа, получаем

d \geq m.

Но из условия

\frac{d}{d+m} \leq \frac{23}{50} < \frac{1}{2},

значит,

d < m.

Получили противоречие. Следовательно, после прихода одной девочки доля девочек не может быть больше 50%.

Теперь покажем, что 50% получить можно.

Возьмём класс, в котором

d = 5, \quad m = 6.

Тогда всего в классе 11 человек, то есть условие

10 < d + m \leq 26

выполнено.

Доля девочек сначала равна

\frac{5}{11} < \frac{23}{50},

так как

5 \cdot 50 = 250 < 253 = 11 \cdot 23.

Если в класс придёт ещё одна девочка, то девочек станет 6, а всего человек станет 12. Тогда доля девочек будет равна

\frac{6}{12} = \frac{1}{2} = 50\%.

Значит, максимальная доля девочек после прихода одной девочки равна 50%.

Ответ:

50\%

Теория чисел: В классе больше 10, но не больше 26 человек,... — задача

Похожие задачи