Теория чисел: В течение n дней каждый день на доску... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваФИПИ

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше

6

. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.
а) Может ли n быть больше

6

?
б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше

2

, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше

4

?
в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна

5

. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Решение

а) Да,

n = 7

возможно. Пример:

Рисунок 1 к решению задачи №20: Задачи с сюжетом

б) Да,

n = 4

возможно. Пример:

Рисунок 2 к решению задачи №20: Задачи с сюжетом

Среднее арифметическое первого дня:

199/100 = 1,99 < 2

.
Общая сумма:

199 + 483 + 484 + 485 = 1651

, общее количество:

100 + 99 + 98 + 97 = 394

, среднее арифметическое всех чисел:

1651/394 > 4

.

в) Сумма первого дня равна 5. Для максимизации общей суммы нужно, чтобы чисел в первый день было как можно больше, поэтому берём 5 единиц (количество 5).

Рассмотрим возможное количество дней

n

n = 5

: Тогда в 5-й день будет 1 число. Сумма 4-го дня должна быть меньше суммы 5-го, т.е. сумма 4-го дня

\le 4

. Продолжая аналогию, получаем, что сумма первого дня должна быть

\le 1

, что противоречит условию,

n = 5

не подходит.

n = 4

: В 4-й день 2 числа, их сумма

\le 10

. Тогда в 3-й день сумма

\le 9

, а во второй день сумма

\le 8

. Итого сумма за все дни

\le 5 + 8 + 9 + 10 = 32

n = 3

: В 3-й день 3 числа, их сумма

\le 15

. тогда во второй день сумма

\le 14

. Итого сумма за все дни:

\le 5 + 14 + 15 = 34

n = 2

: Во 2-й день 4 числа, сумма

\le 20

. Берём максимум

= 20

, общая сумма

5 + 20 = 25 < 34

.

Таким образом, максимальная сумма достигается при

n = 3

и равна 34. Пример:

Рисунок 3 к решению задачи №20: Задачи с сюжетом

Ответ: а) да; б) да; в)

34.

Теория чисел: В течение n дней каждый день на доску... — задача

Похожие задачи