Теория чисел: В кошельке у Коли было n монет достоинством 2,... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГКР 14.12.2023

В кошельке у Коли было

n

монет достоинством

2, 5

или

10

рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли покупками быть альбом за

56

рублей и кисточка за

29

рублей, если

n = 14

?

б) Могли ли покупками быть тетрадь за

10

рублей, линейка за

15

рублей и карандаш за

20

рублей, если

n = 19

?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за

85

рублей, а

n = 24

Решение

а) Заметим, что

6

рублей можно набрать только тремя монетами по

2

р, а

9

рублей -- только одной монетой

5

р и двумя монетами по

2

р. Значит, задача сводится к тому, чтобы набрать

70

рублей

8

монетами. Это можно сделать шестью монетами по

10

р и двумя монетами по

5

р. Тогда итоговый набор монет выглядит следующим образом:

6

монет по

10

р,

3

монеты по

5

р,

5

монет по

2

р.

б) Заметим, что обязательно должна быть одна монета

5

р, чтобы купить линейку. Значит, задача сводится к тому, чтобы набрать

40

рублей

18

монетами.

Возьмём

18

монет по

2

р, их сумма равна

36

. Если мы заменим одну монету на монету

10

р, то сумма монет будет равна

44

р,

44 > 40

. При замене одной и двух монет на монету по

5

р, получим

39

р и

42

р соответственно. При замене большего числа монет сумма увеличится, значит,

40

рублей мы набрать не сможем.

в) Пусть

x

-- количество монет

2

р,

y

-- количество монет

5

р,

z

-- количество монет

10

р. Тогда получаем систему:

\begin{cases} x + y + z = 24,\; |\cdot 2\\ 2x + 5y + 10z = 85 \end{cases} \Rightarrow\quad \begin{cases} 2x + 2y + 2z = 24,\\ 2x + 5y + 10z = 85 \end{cases} \Rightarrow\quad 3y + 8z = 37 \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{37 - 8z}{3}.

Ясно, что

y \geqslant 0

, значит,

\dfrac{37 - 8z}{3} \geqslant 0\quad\Rightarrow\quad 8z \leqslant 37\quad\Rightarrow\quad z \leqslant 4.

Переберём возможные значения

z

z = 0 : y = \dfrac{37}{3}\notin \mathbb{N};

z = 1 : y = \dfrac{29}{3}\notin \mathbb{N};

z = 2 : y = 7\in \mathbb{N};

z = 3 : y = \dfrac{13}{3}\notin \mathbb{N};

z = 4 : y = \dfrac{5}{3}\notin \mathbb{N}.

Значит,

y_{\min} = 7

. Это достигается при

x = 15

y = 7

z = 2

.

Ответ: а) да; б) нет; в)

7

Теория чисел: В кошельке у Коли было n монет достоинством 2,... —...

Похожие задачи