Теория чисел: Есть четыре коробки: в первой коробке... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваСтатГрад 13.12.2023

Есть четыре коробки: в первой коробке находятся

93

камня, во второй —

94

, в третьей —

95

, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться

89

камней, во второй---

94

,
в третьей---

95

, а в четвёртой---

4

?
б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться

282

камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?

Решение

а)
За один ход мы выбираем одну коробку, в которую кладём камни, а из трёх остальных берём по одному камню.

Покажем последовательность ходов:

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & I & II & III & IV & \text{кладём в} \\ \hline 0 & 93 & 94 & 95 & 0 & IV \\ 1 & 92 & 93 & 94 & 3 & III \\ 2 & 91 & 92 & 97 & 2 & II \\ 3 & 90 & 95 & 96 & 1 & IV \\ 4 & 89 & 94 & 95 & 4 & \end{array}

Получили нужное распределение. Значит, такая ситуация возможна.

б)
Всего камней:

93+94+95+0=282.

Значит, если в четвёртой коробке оказалось

282

камня, то в первых трёх коробках должно не остаться камней.

Рассмотрим вторую и третью коробки. Изначально в них было

94

95

камней, то есть числа разной чётности.

При каждом ходе в каждой коробке количество камней меняется на нечётное число: либо на

-1

, либо на

+3

. Значит, чётность количества камней в каждой коробке меняется на противоположную.

Поэтому вторая и третья коробки всегда будут иметь разную чётность.

Но если в них стало бы

0

0

, то они имели бы одинаковую чётность. Противоречие.

Значит, такая ситуация невозможна.

в)
В каждом ходе количество камней в каждой коробке меняется либо на

-1

, либо на

+3

.

В обоих случаях остаток от деления числа камней на

4

изменяется одинаково: он уменьшается на

1

. Действительно,

3 = 4 - 1,

то есть прибавить

3

— это то же самое, что уменьшить остаток на

1

.

Значит, при каждом ходе остаток количества камней в каждой коробке уменьшается на

1

по модулю

4

. Поэтому если какие-то коробки имели разные остатки при делении на

4

, то они и дальше будут иметь разные остатки.

Во второй, третьей и четвёртой коробках изначально было:

94,\quad 95,\quad 0.

Их остатки при делении на

4

различны

\begin{aligned}&94 \text{ даёт остаток } 2;\\&95 \text{ даёт остаток } 3;\\&96 \text{ даёт остаток } 0;\\\end{aligned}

Значит, во второй, третьей и четвёртой коробках всегда будут три разных остатка при делении на

4

.

Если в первой коробке больше

279

камней, то в остальных трёх коробках суммарно меньше

3

камней.

Но три числа с разными остатками при делении на

4

не могут иметь сумму меньше

0+1+2=3.

Значит, в первой коробке не может быть больше

279

камней.

Покажем, что

279

камней получить можно.

Сначала

24

раза кладём камни в четвёртую коробку:

(93;\,94;\,95;\,0)\longrightarrow(69;\,70;\,71;\,72).

Затем

70

раз кладём камни в первую коробку:

(69;\,70;\,71;\,72)\longrightarrow(279;\,0;\,1;\,2).

Значит, наибольшее возможное число камней в первой коробке равно

279

.

Ответ: а) Да; б) Нет; в)

279

Теория чисел: Есть четыре коробки: в первой коробке... — задача

Похожие задачи