Теория чисел: На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и... —...

Условие, ответ и разбор задачи

Числа и их свойстваЕГКР 10.12.2024

На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и прямоугольники, размеры сторон которых — натуральные числа. Для каждого квадрата обязательно найдётся прямоугольник, равный ему по площади, но шириной на

5

меньше, чем сторона квадрата. И наоборот, для каждого прямоугольника обязательно найдётся квадрат, равный ему по площади, со стороной на

5

больше, чем его ширина.

а) Может ли лежать на столе прямоугольник шириной

15

?

б) Может ли лежать на столе прямоугольник длиной

36

?

в) Какое наибольшее количество различных фигур может лежать на столе?

Решение

Пусть

a

-- сторона квадрата,

(a-5)

-- ширина прямоугольника,

b

-- длина прямоугольника.
Так как у квадрата и у прямоугольника равны площади, то справедливо равенство

a^2 = (a - 5) \cdot b.

а) Ширина равна 15, то есть

a - 5 =15

a = 20

. Тогда получаем, что

400 = 15b, \quad b = \dfrac{400}{15}\not \in \mathbb{N}, \ \text{противоречие}.

б) Длина прямоугольника равна 36, то есть

b = 36

. Получаем:

a^2 = (a - 5)\cdot 36;

a^2 - 36a + 180 = 0;

a = 6, \quad a = 30.

При

a = 6

: прямоугольник

36 \times 1

и квадрат

6 \times 6

;

При

a = 30

: прямоугольник

36 \times 25

и квадрат

30 \times 30

.

в) Выразим

b

из уравнения

a^2 = (a - 5) \cdot b

и выполним преобразования:

b = \dfrac{a^2}{a - 5} = \dfrac{a^2 - 25 + 25}{a - 5} = \dfrac{(a + 5)(a - 5)}{a - 5} + \dfrac{25}{a - 5} = a + 5 + \dfrac{25}{a - 5}.

Так как стороны фигур -- это натуральные числа, то

\dfrac{25}{a - 5}

должно быть натуральным. Значит,

(a - 5)

должно быть делителем 25, то есть возможны 3 случая:

1) [1.]

a - 5 = 1

a = 6

, прямоугольник

36 \times 1

и квадрат

6 \times 6

;

2) [2.]

a - 5 = 5

a = 10

, прямоугольник

20 \times 5

и квадрат

10 \times 10

;

3) [3.]

a - 5 = 25

a = 30

, прямоугольник

36 \times 25

и квадрат

30 \times 30

.

Следовательно, всего на столе могут лежать 6 фигур.

Ответ: а) нет, б) да, в) 6.

Теория чисел: На столе лежат вырезанные из бумаги квадраты и... —...

Похожие задачи