а)
Воспользуемся формулой приведения ($$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$$):
\[
\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{x}{2}\right) = \sin \dfrac{x}{2}.
\]
Представим $\sin x$ как $\sin\left(2\cdot\dfrac{x}{2}\right)$ и используем формулу синуса двойного угла ($$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$):
\[
\sin x = 2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}.
\]
Уравнение принимает вид
\[
2\sin\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}-\sqrt{2}\sin\dfrac{x}{2}=0;
\]
\[
\sin\dfrac{x}{2}\left(2\cos\dfrac{x}{2}-\sqrt{2}\right)=0.
\]
Решая простейшие тригонометрические уравнения, получаем:
\[
\left[
\begin{array}{l}
\sin\dfrac{x}{2}=0,\\[3mm]
\cos\dfrac{x}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\dfrac{x}{2}=\pi k,\\[3mm]
\dfrac{x}{2}=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
x=2\pi k,\\[2mm]
x=\pm\dfrac{\pi}{2}+4\pi k,\,k\in\mathbb{Z}.
\end{array}
\right.
\]
б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[4\pi;7\pi\right],$ с помощью двойных неравенств.
1) Серия $x=2\pi k:$
\[
\left.\quad\quad\quad\,4\pi\leqslant 2\pi k\leqslant 7\pi;\quad\right|:2\pi
\]
\[
2\leqslant k\leqslant 3{,}5.
\]
Нам подходят значения $k=2$ и $k=3.$ Тогда получаем следующие корни:
\[
4\pi,\,6\pi.
\]
2) Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+4\pi k:$
\[
\left.\quad\quad\quad 4\pi\leqslant\dfrac{\pi}{2}+4\pi k\leqslant 7\pi;\quad\right|:\pi
\]
\[
4\leqslant\dfrac{1}{2}+4k\leqslant 7;
\]
\[
\left.\quad\quad\quad\dfrac{7}{2}\leqslant 4k\leqslant\dfrac{13}{2};\quad\right|:4
\]
\[
\dfrac{7}{8}\leqslant k\leqslant\dfrac{13}{8}.
\]
Нам подходит значение $k=1.$ Тогда получаем следующий корень:
\[
\dfrac{\pi}{2}+4\pi=\dfrac{9\pi}{2}.
\]
3) Серия $x=-\dfrac{\pi}{2}+4\pi k:$
\[
\left.\quad\quad\quad 4\pi\leqslant-\dfrac{\pi}{2}+4\pi k\leqslant 7\pi;\quad\right|:\pi
\]
\[
4\leqslant-\dfrac{1}{2}+4k\leqslant 7;
\]
\[
\left.\quad\quad\quad \dfrac{9}{2}\leqslant 4k\leqslant\dfrac{15}{2};\quad\right|:4
\]
\[
\dfrac{9}{8}\leqslant k\leqslant\dfrac{15}{8}.
\]
Целых $k$ на этом промежутке нет.
Таким образом, на отрезок попали следующие корни:
\[
4\pi,\,\dfrac{9\pi}{2},\,6\pi.
\]
Ответ: а) $2\pi k,\,\pm\dfrac{\pi}{2}+4\pi k,\,k\in\mathbb{Z}.$ б) $4\pi,\,\dfrac{9\pi}{2},\,6\pi.$
