Тригонометрия: 7, 2, 4, 1 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияЕГЭ 2026 (пересдача)

а) Решите уравнение

2\sin 2x + 2\sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - 1 = 0.

б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку~

\left[ -5\pi; -\dfrac{7\pi}{2} \right]

Решение

а) Используя формулы синуса разности и синуса двойного аргумента, получим:

4\sin x \cos x + 2\sqrt{2} \left(\sin x \cos \dfrac{\pi}{4} - \sin \dfrac{\pi}{4}\cos x\right) - 1 = 0;

4\sin x \cos x + 2\sin x - 2\cos x - 1 = 0;

2\sin x (2\cos x + 1) - (2\cos x + 1) = 0;

(2\cos x + 1)(2\sin x - 1) = 0;

\left[ \begin{gathered} 2\cos x + 1 = 0, \ \\ 2\sin x - 1 = 0; \ \\ \end{gathered}\right. \quad \left[ \begin{gathered} \cos x = - \dfrac{1}{2}, \ \\ \sin x = \dfrac{1}{2}; \ \\ \end{gathered}\right. \quad \left[ \begin{gathered} x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \ \\[0.5ex] x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, \ \\[0.5ex] x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k; \ \\ \end{gathered}\right. \ k\in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[ -5\pi; -\dfrac{7\pi}{2} \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия, разложение на множители

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{14\pi}{3},\; -\dfrac{23\pi}{6}.

Ответ: а)

\pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, \ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{14\pi}{3},\; -\dfrac{23\pi}{6}

Тригонометрия: 7, 2, 4, 1 · ЕГЭ №14

Похожие задачи