Уравнения: а) Решите уравнение sin^3x =... — задача

а)
Косинус является чётной функцией ($$\cos(-\alpha) = \cos{\alpha}$$). Воспользуемся формулой приведения ($$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$$):
\[ \cos\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x. \]
Неравенство принимает вид
\[ \sin^3x=\sin x; \]
\[ \sin^3x-\sin x=0; \]
\[ \sin x\left(\sin^2x-1\right)=0. \]
Разложим скобку по формуле разности квадратов ($$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$):
\[ \sin x\left(\sin x+1\right)\left(\sin x-1\right)=0. \]
Решая простейшие тригонометрические уравнения, получаем:
\[ \left[ \begin{array}{l} \sin x=0,\\ \sin x=-1,\\ \sin x=1 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x=\pi k,\\[2mm] x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\\[2mm] x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array} \right. \]

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right],$ с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.



На отрезок попали следующие корни:
\[ -\dfrac{3\pi}{2},\ -\pi,\ -\dfrac{\pi}{2}. \]

Ответ: а) $x=\pi k,\ x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.,\ k\in\mathbb{Z}.$ б) $-\dfrac{3\pi}{2},\ -\pi,\ -\dfrac{\pi}{2}.$