Уравнения: а) Решите уравнение sin^2(x+π)-... — задача

а)
Косинус является чётной функцией ($$\cos{(-\alpha)} = \cos{\alpha}$$). Упростим тригонометрические выражения с помощью формул приведения ($$\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha$$
$$\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha$$).
\[ \sin^2(x+\pi)=\left(-\sin x\right)^2=\sin^2x; \]
\[ \cos\left(-\dfrac{3\pi}{2}-x\right)=\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x. \]
Уравнение принимает вид
\[ \sin^2x-\sin x=0; \]
\[ \sin x\left(\sin x-1\right)=0. \]
Решая простейшие тригонометрические уравнения, получаем:
\[ \left[ \begin{array}{l} \sin x=0,\\ \sin x=1 \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x=\pi k,\\[2mm] x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array} \right. \]

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right],$ с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.



На отрезок попали следующие корни:
\[ -\dfrac{7\pi}{2},\ -3\pi,\ -2\pi. \]

Ответ: а) $\pi k,\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$ б) $-\dfrac{7\pi}{2},\ -3\pi,\ -2\pi.$