Тригонометрия: 3, 1, 2, 5 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 31.01.2024

а) Решите уравнение

(1-\tg^2 x)\sqrt{5\sin x}=0

.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]

Решение

а)
Решим уравнение

(1-\tg^2 x)\sqrt{5\sin x}=0.

Заметим, что тангенс определён при

\cos x\ne0

.
Так как перед нами произведение двух выражений, получаем совокупность:

\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}1-\tg^2 x=0,\\5\sin x\geqslant 0.\end{array}\right.\\[12pt]\left\{\begin{array}{l}5\sin x=0,\\\cos x\ne 0.\end{array}\right.\end{array}\right.

Из второй системы получаем

\sin x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pi k,\ k\in\mathbb Z,

причём при этих значениях

\cos x=\pm1\ne0

, значит, они подходят.

Из первой системы:

1-\tg^2 x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \tg^2 x=1 \quad \Leftrightarrow \quad \tg x=\pm1.

Тогда

x=\frac{\pi}{4}+\pi k \qquad \text{или} \qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k.

С учётом условия

5\sin x\geqslant0

, то есть

\sin x\geqslant0

, остаются серии

x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \qquad \text{и} \qquad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.

Значит, все корни уравнения:

x=\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 0 к решению задачи №14: Тригонометрия, разложение на множители

На отрезок попали корни

x=-3\pi

x=-2\pi

x=-\dfrac{7\pi}{4}

Ответ: а)

x=\pi k

x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k

x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k

k\in\mathbb Z

. б)

-3\pi

;

-2\pi

;

-\dfrac{7\pi}{4}

Тригонометрия: 3, 1, 2, 5 · ЕГЭ №14

Похожие задачи