Тригонометрия: 5, 2, 3, 4 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

СтатГрад 02.10.2024

а) Решите уравнение

2\sin^3x-\sqrt{3}\cos^2x=2\sin x.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]

Решение

а) Преобразуем уравнение:

\sqrt{3}\cos^2x + 2\sin x - 2\sin^3x = 0;\\\sqrt{3}\cos^2x +2\sin x (1-\sin^2x) = 0;

так как

1-\sin^2 x = \cos^2 x

, то получаем:

\sqrt{3}\cos^2x +2\sin x \cdot \cos^2 x = 0;\\\cos^2 x (\sqrt{3} + 2 \sin x) = 0.

Получаем:

\left[\begin{gathered} \cos^2 x = 0 , \\ \sqrt{3} + 2 \sin x = 0.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered} \cos x = 0 , \\ \sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{gathered} x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k , \\ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \\ x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}. \end{gathered}\right.

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 0 к решению задачи №14: Тригонометрия, разложение на множители

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{7\pi}{2}, \ -\dfrac{8\pi}{3}, \ -\dfrac{5\pi}{2}.

Ответ: а)

x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k , \ x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \ x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}

. б)

-\dfrac{7\pi}{2}, \ -\dfrac{8\pi}{3}, \ -\dfrac{5\pi}{2}.

Тригонометрия: 5, 2, 3, 4 · ЕГЭ №14

Похожие задачи