Тригонометрия: 9, 5, 2, 15 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

ЕГКР 05.04.2024

а) Решите уравнение

\sqrt{5} \cos 2x + \sqrt{15} \sin 2x + \sqrt{5} = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right].

Решение

а) Упростим уравнение, используя формулы синуса и косинуса двойного аргумента:

\sqrt{5}(2\cos^2 x -1) + 2\sqrt{15} \sin x \cos x + \sqrt{5} = 0;

2\sqrt{5}\cos^2 x + 2\sqrt{15} \sin x \cos x = 0; \ |:2\sqrt{5}

\cos^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x = 0;

\cos x(\cos x + \sqrt{3} \sin x) = 0;

\left[ \begin{gathered} \cos x = 0, \ \\ \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0; \ \end{gathered}\right. \qquad \left[ \begin{gathered} \cos x = 0, \ \\ \tg x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}; \ \end{gathered}\right. \qquad \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \ \\[1ex] x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k; \ \end{gathered}\right. \ k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия, разложение на множители

На отрезок попали следующие корни:

\dfrac{7\pi}{2},\ \dfrac{23\pi}{6}, \ \dfrac{9\pi}{2}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k, \ -\dfrac{\pi}{6} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{7\pi}{2},\ \dfrac{23\pi}{6}, \ \dfrac{9\pi}{2}

Тригонометрия: 9, 5, 2, 15 · ЕГЭ №14

Похожие задачи