Тригонометрия: 3, 4, 2 · ЕГЭ №14

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияЕГКР 14.12.2023

а) Решите уравнение

\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cos{x}\left(\sin{x} + \sqrt{2}\right) = \left(\sin^2{x} + \sqrt{2}\sin{x}\right)\cos^2{x}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]

Решение

а) Сгруппируем слагаемые:

\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cos{x}\left(\sin{x} + \sqrt{2}\right) - \cos^2{x}\sin{x}\left(\sin{x} + \sqrt{2}\right) = 0;

\left(\sin{x} + \sqrt{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cos{x} - \sin{x}\cos^2{x}\right) = 0;

\cos{x}\cdot \left(\sin{x} + \sqrt{2}\right)\cdot \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \sin{x}\cos{x}\right) = 0;

\left[ \begin{array}{l} \sin{x} = -\sqrt{2},\\ \cos{x} = 0,\\ \sin{x}\cos{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}. \end{array} \right.

Заметим, что

-1 > -\sqrt{2}

, поэтому первое уравнение совокупности не имеет решений. Решим второе уравнение:

\cos{x} = 0,\quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k\in \mathbb{Z}.

Решим третье уравнение. По формуле синуса двойного угла получаем:

\dfrac{1}{2}\sin{2x} = \dfrac{\sqrt{3}}{4};

\sin{2x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2};

\left[ \begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\\[2.5mm] 2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, k\in\mathbb{Z}; \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k,\\[2.5mm] x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

Рисунок 1 к решению задачи №14: Тригонометрия, разложение на множители

На отрезок попали корни:

\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{7\pi}{6},\, \dfrac{4\pi}{3},\, \dfrac{3\pi}{2}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{2} + \pi k, \dfrac{\pi}{6} + \pi k, \dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}

; б)

\dfrac{\pi}{2},\, \dfrac{7\pi}{6},\, \dfrac{4\pi}{3},\, \dfrac{3\pi}{2}

Тригонометрия: 3, 4, 2 · ЕГЭ №14

Похожие задачи