Представим все слагаемые как степени чисел $3$ и $5:$
\[
45^x=(9\cdot5)^x=3^{2x}\cdot5^x,\qquad 27^x=3^{3x},\qquad 15^x=3^x\cdot5^x,\qquad 9^x=3^{2x},\qquad 3^{x+2}=9\cdot3^x.
\]
Неравенство принимает вид
\[
3\cdot3^{2x}\cdot5^x-3\cdot3^{3x}-28\cdot3^x\cdot5^x+28\cdot3^{2x}+9\cdot5^x-9\cdot3^x\leqslant 0.
\]
Сгруппируем слагаемые попарно и в каждой паре вынесем общий множитель:
\[
3\cdot3^{2x}\left(5^x-3^x\right)-28\cdot3^x\left(5^x-3^x\right)+9\left(5^x-3^x\right)\leqslant 0.
\]
Во всех трёх слагаемых появилась общая скобка $(5^x-3^x),$ вынесем её:
\[
\left(5^x-3^x\right)\left(3\cdot3^{2x}-28\cdot3^x+9\right)\leqslant 0.
\]
Разложим вторую скобку $3\cdot3^{2x}-28\cdot3^x+9$ на множители. Обозначим $y=3^x$ и найдём корни квадратного трёхчлена $3y^2-28y+9.$
Корни будут $y_1=\dfrac13, y_2=9.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[
3y^2-28y+9=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D=(-28)^2-4\cdot3\cdot9=784-108=676 = 26^2.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
y_1=\dfrac{28-26}{6}=\dfrac13,\\[2mm]
y_2=\dfrac{28+26}{6}=9.
\end{array}
\right.
\])Значит,
\[
3y^2-28y+9=3\left(y-\dfrac13\right)(y-9) = 3\left(3^x-\dfrac13\right)(3^x-9),
\]
и неравенство принимает вид
\[
3\left(5^x-3^x\right)\left(3^x-\dfrac13\right)\left(3^x-9\right)\leqslant 0.
\]
Разделим обе части неравенства на положительное число $3\cdot3^x:$
\[
\left(\left(\dfrac53\right)^x-1\right)\left(3^x-\dfrac13\right)\left(3^x-9\right)\leqslant 0.
\]
Запишем каждую скобку как разность степеней с одним основанием:
\[
\left(\left(\dfrac53\right)^x-\left(\dfrac53\right)^0\right)\left(3^x-3^{-1}\right)\left(3^x-3^2\right)\leqslant 0.
\]
Функции $y = \left(\dfrac53\right)^x$ и $y = 3^x$ монотонно возрастают, так как $\dfrac{5}{3} > 1$ и $3 > 1$. Воспользуемся
методом рационализации:
\[
(x-0)\bigl(x-(-1)\bigr)(x-2)\leqslant 0;
\]
\[
x(x+1)(x-2)\leqslant 0.
\]
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\[
x\in(-\infty;-1]\cup[0;2].
\]
Ответ: $(-\infty;-1]\cup[0;2].$
