Неравенства: Решите неравенство 3· 25^x^2 - 6x + 9 + 5·... —...

Заметим, что у все степени показательных функций одинаковы и равны $x^2 - 6x + 9.$ По формуле квадрата разности ($a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$) получаем:
\[ x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2\cdot 3x + 3^2 = (x - 3)^2. \]

Сделаем замену $t=(x-3)^2$:
\[ 3\cdot 25^{t} + 5\cdot 9^{t} \geqslant 8\cdot 15^{t}. \]
Упростим показательные выражения, используя свойства степени:
\[ 25^{t} = \left(5^{t}\right)^2,\quad 9^{t} = \left(3^{t}\right)^2,\quad 15^{t} = 3^{t}\cdot 5^{t}. \]
Неравенство принимает следующий вид:
\[ 3\cdot \left(5^{t}\right)^2 - 8\cdot 3^{t}\cdot 5^{t} + 5\cdot \left(3^{t}\right)^2 \geqslant0. \]
Мы получили однородное показательное неравенство. Разделим обе части неравенства на $\left(3^{t}\right)^2 > 0$:
\[ 3\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{2t} - 8\cdot \left(\dfrac{5}{3}\right)^{t} + 5 \geqslant 0. \]
Сделаем замену $y = \left(\dfrac{5}{3}\right)^{t}:$
\[ 3y^2 - 8y + 5 \geqslant 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен $3y^2 - 8y + 5$ на множители. Корни будут $y_1=1, y_2=\dfrac{5}{3}.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ 3y^2 - 8y + 5=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=(-8)^2-4\cdot3\cdot5=64-60=4=2^2. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} y_1=\dfrac{8-2}{6}=1,\\[2mm] y_2=\dfrac{8+2}{6}=\dfrac{5}{3}. \end{array} \right. \])
Получаем:
\[ 3(y - 1)\left(y - \dfrac{5}{3}\right) \geqslant 0. \]

Решим неравенство методом интервалов:


\[ \left[ \begin{array}{l} y\leqslant1,\\[1mm] y\geqslant\dfrac53. \end{array} \right. \]

Вернёмся к переменной $t$. Воспользуемся монотонным возрастанием функции $\left(\dfrac{5}{3}\right)^x$:
\[ \left[ \begin{array}{l} \left(\dfrac{5}{3}\right)^{t}\leqslant1,\\[3mm] \left(\dfrac{5}{3}\right)^{t}\geqslant \dfrac{5}{3} \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} \left(\dfrac{5}{3}\right)^{t}\leqslant\left(\dfrac{5}{3}\right)^{0},\\[3mm] \left(\dfrac{5}{3}\right)^{t}\geqslant\left(\dfrac{5}{3}\right)^{1} \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} t\leqslant0,\\ t\geqslant1. \end{array} \right. \]

Вернёмся к переменной $x$. Так как $t=(x-3)^2\geqslant0$, первое неравенство выполняется только при $(x-3)^2=0$, то есть при $x=3$.

Решим второе неравенство:
\[ (x-3)^2\geqslant1; \]
\[ (x-3)^2-1\geqslant0. \]
По формуле разности квадратов ($a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$) имеем:
\[ (x - 4)(x - 2) \geqslant 0. \]
По методу интервалов получаем:


\[ x \in (-\infty; 2]\cup [4;+\infty). \]

Объединим решения:

\[ x \in (-\infty; 2]\cup\{3\}\cup [4;+\infty). \]

Ответ: $(-\infty; 2]\cup\{3\}\cup [4;+\infty)$.