Запишем ограничение на логарифм. Так как функция $3^x$ возрастает, получаем:
\[
3^x-1>0
\quad\Longleftrightarrow\quad
3^x>3^0
\quad\Longleftrightarrow\quad
x>0.
\]
По
основному логарифмическому тождеству ($a^{\log_a b}=b$):
\[
2^{\log_2(3^x-1)}=3^x-1.
\]
Тогда исходное неравенство примет вид:
\[
3^x-1+9^x-11\leqslant0;
\]
\[
3^{2x}+3^x-12\leqslant0.
\]
Сделаем замену $t=3^x,$ тогда
\[
t^2+t-12\leqslant0.
\]
Разложим квадратный трёхчлен $t^2+t-12$ на множители.
Корни будут $t_1=-4, t_2=3.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[
t^2+t-12=0.
\]
Найдём дискриминант:
\[
D= 1^2 - 4\cdot(-12) =1+48=49.
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=\dfrac{-1-7}{2}=-4,\\[2mm]
t_2=\dfrac{-1+7}{2}=3.
\end{array}
\right.
\])Поэтому
\[
(t+4)(t-3)\leqslant0.
\]
Решим неравенство методом интервалов:
\[
-4\leqslant t\leqslant3.
\]
Сделаем обратную замену:
\[
\begin{cases}
3^x\geqslant-4,\\
3^x\leqslant3.
\end{cases}
\]
Первое неравенство выполняется при любом $x,$ так как $3^x>0.$
Решим второе неравенство. Функция $3^x$ возрастает, поэтому
\[
3^x\leqslant3
\quad\Longleftrightarrow\quad
3^x\leqslant3^1
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\leqslant1.
\]
С учётом ограничения $x>0$ получаем:
\[
x\in(0;1].
\]
Ответ: $(0;1].$
