Воспользуемся свойствами показательной функции:
\[
25^{\frac1x-1}=\left(5^2\right)^{\frac1x-1}=\left(5^{\frac1x-1}\right)^2.
\]
Сделаем замену $t=5^{\frac1x-1}:$
\[
t^2-3t+2\geqslant 0.
\]
Разложим квадратный трёхчлен $t^2-3t+2$ на множители. Его
корни равны $t_1=1, t_2=2.$ (По обратной теореме Виета:
Если числа $t_1$ и $t_2$ таковы, что они удовлетворяют условию
\[
\begin{cases}
t_1+t_2=3,\\
t_1\cdot t_2=2,
\end{cases}
\]
то они являются корнями.
Разложим $2$ на два множителя. Сумму $3$ даёт пара $1$ и $2.$
Проверка:
\[
\begin{cases}
1+2=3,\\
1\cdot 2=2.
\end{cases}
\]
Значит,
\[
\left[
\begin{array}{l}
t_1=1,\\
t_2=2.
\end{array}
\right.
\]) Значит,
\[
(t-1)(t-2)\geqslant 0.
\]
Решим неравенство методом интервалов:
\[
\left[
\begin{array}{l}
t\leqslant 1,\\
t\geqslant 2.
\end{array}
\right.
\]
Сделаем обратную замену. По
основному логарифмическому тождеству ($b=a^{\log_a b}$ при $a>0,$ $a\neq 1,$ $b>0$) $2=5^{\log_5 2}.$ Функция $y=5^u$ монотонно возрастает, так как $5>1,$ поэтому
\[
\left[
\begin{array}{l}
5^{\frac1x-1}\leqslant 5^0,\\[2mm]
5^{\frac1x-1}\geqslant 5^{\log_5 2}
\end{array}
\right.
\quad\Longleftrightarrow\quad
\left[
\begin{array}{l}
\dfrac1x-1\leqslant 0,\\[3mm]
\dfrac1x-1\geqslant\log_5 2.
\end{array}
\right.
\]
Решим первое неравенство совокупности:
\[
\dfrac1x-1\leqslant 0;
\]
\[
\dfrac{1-x}{x}\leqslant 0.
\]
По методу интервалов получаем:
\[
x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty).
\]
Решим второе неравенство совокупности. По
свойству логарифма ($\log_a b+\log_a c=\log_a(bc)$ при $b>0,$ $c>0$)\[
1+\log_5 2=\log_5 5+\log_5 2=\log_5 10,
\]
поэтому
\[
\dfrac1x\geqslant 1+\log_5 2;
\]
\[
\dfrac1x\geqslant\log_5 10;
\]
\[
\dfrac{1-x\log_5 10}{x}\geqslant 0.
\]
По
формуле перехода логарифма к новому основанию ($$\dfrac{1}{\log_b a}=\log_a b$$)\[
\dfrac{1}{\log_5 10}=\log_{10}5.
\]
По методу интервалов получаем. Умножим неравенство на $\log_{10}5 > 0:$
\[
\dfrac{\log_{10}5 - x}{x}\geqslant 0.
\]
По методу интервалов получаем:
\[
x\in(0;\log_{10}5].
\]
Заметим, что $\log_{10}5<\log_{10}10=1$. Объединм полученные решения:
\[
x\in(-\infty;0)\cup(0;\log_{10}5]\cup[1;+\infty).
\]
Ответ: $(-\infty;0)\cup(0;\log_{10}5]\cup[1;+\infty).$
