Неравенства: Решите неравенство... — задача

Сделаем замену: $5^x=t.$

Тогда $$ 25^x=t^2,\qquad 125^x=t^3. $$

Получаем неравенство
$$ 2\cdot\dfrac{t^3-1}{t-1}+\dfrac{12}{t^2+t+1}\leqslant 11. $$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности кубов ($a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$):
$$ t^3-1=(t-1)(t^2+t+1), $$
и подставим разложение в исходное неравенство:
$$ 2\cdot\dfrac{(t-1)(t^2+t+1)}{t-1} +\dfrac{12}{t^2+t+1}\leqslant 11. $$
Сократим первую дробь на $t-1,$ учитывая, что $t\ne1$. Получаем равносильную систему:
$$ \begin{cases} 2(t^2+t+1)+\dfrac{12}{t^2+t+1}\leqslant 11,\\[2mm] t\ne1. \end{cases} $$

Обозначим
$$ u=t^2+t+1. $$

Неравенство принимает вид:
$$ 2u+\dfrac{12}{u}\leqslant 11. $$
Так как $t=5^x>0$, то $u=t^2+t+1>0$, умножим обе части неравенства на $u$:
$$ 2u^2-11u+12\leqslant 0. $$

Найдём корни квадратного трёхчлена $2u^2-11u+12.$ Корни будут $u_1=\dfrac{3}{2}, u_2=4.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ 2u^2-11u+12=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=121-4\cdot2\cdot12=121-96=25=5^2. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} u_1=\dfrac{11-5}{4}=\dfrac{3}{2},\\[2mm] u_2=\dfrac{11+5}{4}=4. \end{array} \right. \])
Получаем:
\[ \left(u - \dfrac{3}{2}\right)(u - 4) \leqslant 0. \]

Воспользуемся методом интервалов:

$$ \dfrac32\leqslant u\leqslant4. $$

Вернёмся к переменной $t$:
$$ \dfrac32\leqslant t^2+t+1\leqslant4 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} t^2+t+1-\dfrac32\geqslant0,\\[2mm] t^2+t+1-4\leqslant0 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} t^2+t-\dfrac12\geqslant0,\\[2mm] t^2+t-3\leqslant0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство. Найдём корни квадратного трёхчлена $t^2+t-\dfrac{1}{2}.$ Корни будут $t_1=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}, t_2=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ t^2+t-\dfrac{1}{2}=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=1+2=3. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2},\\[2mm] t_2=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}. \end{array} \right. \])
Получаем:
\[ \left(t - \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)\left(t - \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}\right) \geqslant 0. \]
Воспользуемся методом интервалов:

$$ t\in\left(-\infty;\dfrac{-1-\sqrt3}{2}\right]\cup\left[\dfrac{\sqrt3-1}{2};+\infty\right). $$

Решим второе неравенство. Найдём корни квадратного трёхчлена $t^2+t-3.$ Корни будут $t_1=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}, t_2=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}.$ (Найдём корни с помощью дискриминанта:
Решим уравнение
\[ t^2+t-3=0. \]
Найдём дискриминант:
\[ D=1+12=13. \]
Значит,
\[ \left[ \begin{array}{l} t_1=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2},\\[2mm] t_2=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}. \end{array} \right. \])
Получаем:
\[ \left(t - \dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\left(t - \dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\right) \leqslant 0. \]
Воспользуемся методом интервалов:

$$ t\in\left[\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2};\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}\right]. $$

Теперь учтём ограничения на $t:$
$$ t>0,\qquad t\ne1. $$

и найдём пересечение решений этих неравенств. Для этого заметим, что

$$ \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}<1<\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}. $$

Отсюда

$$ t\in \left[\dfrac{\sqrt{3}-1}{2};1\right) \cup \left(1;\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}\right]. $$

Сделаем обратную замену $t=5^x$. Получаем совокупность двойных неравенств:
$$ \left[ \begin{array}{l} \dfrac{\sqrt3-1}{2}\leqslant 5^x<1,\\[3mm] 1<5^x\leqslant\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}. \end{array} \right. $$
Функция $5^x$ монотонно возрастает. Поэтому выполняются равносильные преобразования:
$$ \left[ \begin{array}{l} 5^{\log_5\frac{\sqrt3-1}{2}}\leqslant 5^x<5^0,\\[3mm] 5^0<5^x\leqslant 5^{\log_5\frac{\sqrt{13}-1}{2}} \end{array} \right. \quad\Longleftrightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} \log_5\frac{\sqrt3-1}{2}\leqslant x<0,\\[3mm] 0<x\leqslant\log_5\frac{\sqrt{13}-1}{2}. \end{array} \right. $$
Отсюда


$$ x\in \left[\log_5\dfrac{\sqrt3-1}{2};0\right) \cup \left(0;\log_5\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}\right]. $$

Ответ: $\left[\log_5\dfrac{\sqrt{3}-1}{2};0\right)\cup\left(0;\log_5\dfrac{\sqrt{13}-1}{2}\right]$.