По свойствам степени
\[
15^x=(3\cdot 5)^x=3^x\cdot 5^x;
\]
\[
3^{x+1}=3\cdot 3^x;\quad 5^{x+1}=5\cdot 5^x.
\]
Числитель принимает вид
\[
3^x\cdot 5^x-3\cdot 3^x-5\cdot 5^x+15.
\]
Сгруппируем слагаемые попарно. Из первого и третьего слагаемых вынесем $3^x$, а из второго и четвёртого — $3$:
\[
3^x\cdot 5^x-5\cdot 5^x-3\cdot 3^x+15=5^x\left(3^x-5\right)-3\left(3^x-5\right)=\left(3^x-5\right)\left(5^x-3\right).
\]
Запишем выражения в скобках, как разность двух степеней по одному основанию. По
основному логарифмическому тождеству ($b=a^{\log_a b}$ при $a>0,$ $a\neq 1,$ $b>0$)$$
5=3^{\log_3 5} \text{ и } 3=5^{\log_5 3},
$$
поэтому неравенство принимает вид
\[
\dfrac{\left(3^x-3^{\log_3 5}\right)\left(5^x-5^{\log_5 3}\right)}{x(2-x)}\geqslant 0.
\]
Функции $y=3^x$ и $y=5^x$ монотонно возрастают, так как $3>1$ и $5>1$. Воспользуемся
методом рационализации:
\[
\dfrac{\left(x-\log_3 5\right)\left(x-\log_5 3\right)}{x(2-x)}\geqslant 0.
\]
Расставим нули по возрастанию. Так как
$$0=\log_5 1<\log_5 3<\log_5 5=1;$$
$$1=\log_3 3<\log_3 5<\log_3 9=2,$$
то получаем
$$0<\log_5 3<1<\log_3 5<2.$$
Решим неравенство методом интервалов:
\[
x\in\left(0;\log_5 3\right]\cup\left[\log_3 5;2\right).
\]
Ответ: $\left(0;\log_5 3\right]\cup\left[\log_3 5;2\right).$
