Рациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромСтатград 20.03.2024

Найдите все значения

a

, при каждом из которых уравнение

\dfrac{x-2a}{x+3}+\dfrac{x-2}{x-a}-1=0

имеет ровно одно решение.

Решение

Приведём к общему знаменателю:

\dfrac{(x-2a)(x-a)+(x-2)(x+3)-(x+3)(x-a)}{(x+3)(x-a)}=0.

Тогда получаем

\dfrac{x^2-2(a+1)x+2a^2+3a-6}{(x+3)(x-a)}=0.

Значит, нужно решить систему

\begin{cases}x^2-2(a+1)x+2a^2+3a-6=0,\\[4pt]x\ne -3,\\x\ne a.\end{cases}

Квадратное уравнение имеет ровно одно подходящее решение в двух случаях:

— либо дискриминант равен нулю, и полученный корень удовлетворяет ОДЗ;
— либо дискриминант положителен, но один из двух корней не подходит по ОДЗ.

1 случай

D=0

.

Найдём дискриминант:

D=\bigl(-2(a+1)\bigr)^2-4\bigl(2a^2+3a-6\bigr).

Упростим:

D=4(a+1)^2-8a^2-12a+24,

D=4a^2+8a+4-8a^2-12a+24,

D=-4a^2-4a+28=-4(a^2+a-7).

Пусть

D=0

. Тогда

a^2+a-7=0.

Отсюда

a_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{29}}{2}.

При этих значениях

a

квадратное уравнение имеет один корень. Он равен

x=\dfrac{2(a+1)}{2}=a+1.

Проверим ОДЗ. Очевидно,

a+1\ne a

. Кроме того,

a+1=-3

только при

a=-4

, а такого значения здесь нет. Значит, оба найденных значения подходят:

a=\dfrac{-1-\sqrt{29}}{2}\qquad \text{и} \qquada=\dfrac{-1+\sqrt{29}}{2}.

2 случай

D>0

.

Тогда квадратное уравнение имеет два различных корня. Чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение, нужно, чтобы один из этих корней не подходил по ОДЗ, то есть был равен

-3

или

a

.

Сначала найдём, при каких

a

выполняется условие

D>0

-4(a^2+a-7)>0.

Решим это неравенство методом интервалов.

Отсюда

\frac{-1 - \sqrt{29}}{2} < a < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}.

Теперь рассмотрим запрещённые значения.

— Пусть

x = a

— корень квадратного уравнения.
Подставим

x = a

в уравнение:

a^2 - 2(a + 1)a + 2a^2 + 3a - 6 = 0.

Упростим:

a^2 + a - 6 = 0,

откуда

a = -3 \quad \text{или} \quad a = 2.

Оба значения удовлетворяют условию

D > 0

.
Проверим их.
Если

a = 2

, то квадратное уравнение имеет вид

x^2 - 6x + 8 = 0,

то есть

x = 2 \quad \text{или} \quad x = 4.

Но

x \neq 2

, значит, остаётся единственное решение

x = 4

.
Если

a = -3

, то квадратное уравнение имеет вид

x^2 + 4x + 3 = 0,

то есть

x = -1 \quad \text{или} \quad x = -3.

Но

x \neq -3

, значит, остаётся единственное решение

x = -1

.

— Пусть

x = -3

— корень квадратного уравнения.
Подставим

x = -3

в уравнение:

(-3)^2 - 2(a + 1)(-3) + 2a^2 + 3a - 6 = 0.

Упростим:

9 + 6(a + 1) + 2a^2 + 3a - 6 = 0,

2a^2 + 9a + 9 = 0.

Найдём корни:

D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9,

a_{1,2} = \frac{-9 \pm 3}{4}.

Следовательно,

a = -3 \quad \text{или} \quad a = -\frac{3}{2}.

Значение

a = -3

уже было получено выше.

Проверим

a = -\frac{3}{2}

.

Тогда квадратное уравнение имеет вид

x^2 + x - 6 = 0,

то есть

x = -3 \quad \text{или} \quad x = 2.

Но

x \neq -3

, значит, остаётся единственное решение

x = 2

.

Итак, все подходящие значения параметра:

a = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2}, \quad a = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}, \quad a = -3, \quad a = -\frac{3}{2}, \quad a = 2.

Ответ:

\dfrac{-1-\sqrt{29}}{2},\quad \dfrac{-1+\sqrt{29}}{2},\quad -3,\quad -\dfrac{3}{2},\quad 2

Рациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи