Найдите все значения a, при каждом из которых уравнениеx+3x−2a+x−ax−2−1=0имеет ровно одно решение.
Решение
Приведём к общему знаменателю:(x+3)(x−a)(x−2a)(x−a)+(x−2)(x+3)−(x+3)(x−a)=0.Тогда получаем(x+3)(x−a)x2−2(a+1)x+2a2+3a−6=0.Значит, нужно решить систему⎩⎨⎧x2−2(a+1)x+2a2+3a−6=0,x=−3,x=a.Квадратное уравнение имеет ровно одно подходящее решение в двух случаях:
--- либо дискриминант равен нулю, и полученный корень удовлетворяет ОДЗ; --- либо дискриминант положителен, но один из двух корней не подходит по ОДЗ.
1 случай D=0.
Найдём дискриминант:D=(−2(a+1))2−4(2a2+3a−6).Упростим:D=4(a+1)2−8a2−12a+24,D=4a2+8a+4−8a2−12a+24,D=−4a2−4a+28=−4(a2+a−7).Пусть D=0. Тогдаa2+a−7=0.Отсюдаa1,2=2−1±29.При этих значениях a квадратное уравнение имеет один корень. Он равенx=22(a+1)=a+1.Проверим ОДЗ. Очевидно, a+1=a. Кроме того, a+1=−3 только при a=−4, а такого значения здесь нет. Значит, оба найденных значения подходят:a=2−1−29иa=2−1+29.2 случай D>0.
Тогда квадратное уравнение имеет два различных корня. Чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение, нужно, чтобы один из этих корней не подходил по ОДЗ, то есть был равен −3 или a.
Сначала найдём, при каких a выполняется условие D>0:−4(a2+a−7)>0.Решим это неравенство методом интервалов.
--- Пусть x=a — корень квадратного уравнения. Подставим x=a в уравнение:a2−2(a+1)a+2a2+3a−6=0.Упростим:a2+a−6=0,откудаa=−3илиa=2.Оба значения удовлетворяют условию D>0. Проверим их. Если a=2, то квадратное уравнение имеет видx2−6x+8=0,то естьx=2илиx=4.Но x=2, значит, остаётся единственное решение x=4. Если a=−3, то квадратное уравнение имеет видx2+4x+3=0,то естьx=−1илиx=−3.Но x=−3, значит, остаётся единственное решение x=−1.
--- Пусть x=−3 — корень квадратного уравнения. Подставим x=−3 в уравнение:(−3)2−2(a+1)(−3)+2a2+3a−6=0.Упростим:9+6(a+1)+2a2+3a−6=0,2a2+9a+9=0.Найдём корни:D=92−4⋅2⋅9=81−72=9,a1,2=4−9±3.Следовательно,a=−3илиa=−23.Значение a=−3 уже было получено выше.
Проверим a=−23.
Тогда квадратное уравнение имеет видx2+x−6=0,то естьx=−3илиx=2.Но x=−3, значит, остаётся единственное решение x=2.
Итак, все подходящие значения параметра:a=2−1−29,a=2−1+29,a=−3,a=−23,a=2.Ответ: 2−1−29,2−1+29,−3,−23,2
