Банк Задач
Школьник
Студент
Преподаватель
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач
Конструктор
Варианты
Банк заданий
Методички
Статистика
Мои классы
Баллодожималка
ДВИ МГУNEW
Банк Задач Профиматика

Больше 5 лет помогаем школьникам уверенно сдавать ЕГЭ и поступать в вузы мечты. Не шаблоны — настоящее понимание предмета.

Карта сайта:

Банк задачКонструктор вариантовО платформе

Наши соцсети

Для учеников

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для преподавателей

YouTubeTelegramВКонтактеMax

Для студентов

YouTubeTelegramВКонтактеMax
политика конфиденциальностиполитика обработки перс данныхсогласие на рассылки

© 2026 Профиматика

ПараметрыСтатград 20.03.2024
Найдите все значения aaa, при каждом из которых уравнение
x−2ax+3+x−2x−a−1=0\dfrac{x-2a}{x+3}+\dfrac{x-2}{x-a}-1=0x+3x−2a​+x−ax−2​−1=0
имеет ровно одно решение.

Решение

Приведём к общему знаменателю:
(x−2a)(x−a)+(x−2)(x+3)−(x+3)(x−a)(x+3)(x−a)=0.\dfrac{(x-2a)(x-a)+(x-2)(x+3)-(x+3)(x-a)}{(x+3)(x-a)}=0.(x+3)(x−a)(x−2a)(x−a)+(x−2)(x+3)−(x+3)(x−a)​=0.

Тогда получаем
x2−2(a+1)x+2a2+3a−6(x+3)(x−a)=0.\dfrac{x^2-2(a+1)x+2a^2+3a-6}{(x+3)(x-a)}=0.(x+3)(x−a)x2−2(a+1)x+2a2+3a−6​=0.

Значит, нужно решить систему
{x2−2(a+1)x+2a2+3a−6=0,x≠−3,x≠a.\begin{cases}
x^2-2(a+1)x+2a^2+3a-6=0,\\[4pt]
x\ne -3,\\
x\ne a.
\end{cases}⎩⎨⎧​x2−2(a+1)x+2a2+3a−6=0,x=−3,x=a.​

Квадратное уравнение имеет ровно одно подходящее решение в двух случаях:


--- либо дискриминант равен нулю, и полученный корень удовлетворяет ОДЗ;
--- либо дискриминант положителен, но один из двух корней не подходит по ОДЗ.


1 случай D=0D=0D=0.

Найдём дискриминант: D=(−2(a+1))2−4(2a2+3a−6).D=\bigl(-2(a+1)\bigr)^2-4\bigl(2a^2+3a-6\bigr).D=(−2(a+1))2−4(2a2+3a−6).

Упростим: D=4(a+1)2−8a2−12a+24,D=4(a+1)^2-8a^2-12a+24,D=4(a+1)2−8a2−12a+24, D=4a2+8a+4−8a2−12a+24,D=4a^2+8a+4-8a^2-12a+24,D=4a2+8a+4−8a2−12a+24, D=−4a2−4a+28=−4(a2+a−7).D=-4a^2-4a+28=-4(a^2+a-7).D=−4a2−4a+28=−4(a2+a−7).

Пусть D=0D=0D=0. Тогда a2+a−7=0.a^2+a-7=0.a2+a−7=0.

Отсюда
a1,2=−1±292.a_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{29}}{2}.a1,2​=2−1±29​​.

При этих значениях aaa квадратное уравнение имеет один корень. Он равен
x=2(a+1)2=a+1.x=\dfrac{2(a+1)}{2}=a+1.x=22(a+1)​=a+1.

Проверим ОДЗ. Очевидно, a+1≠aa+1\ne aa+1=a. Кроме того, a+1=−3a+1=-3a+1=−3 только при a=−4a=-4a=−4, а такого значения здесь нет. Значит, оба найденных значения подходят:
a=−1−292иa=−1+292.a=\dfrac{-1-\sqrt{29}}{2}
\qquad \text{и} \qquad
a=\dfrac{-1+\sqrt{29}}{2}.a=2−1−29​​иa=2−1+29​​.

2 случай D>0D>0D>0.

Тогда квадратное уравнение имеет два различных корня. Чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение, нужно, чтобы один из этих корней не подходил по ОДЗ, то есть был равен −3-3−3 или aaa.

Сначала найдём, при каких aaa выполняется условие D>0D>0D>0: −4(a2+a−7)>0.-4(a^2+a-7)>0.−4(a2+a−7)>0.

Решим это неравенство методом интервалов.
Изображение 1

Отсюда −1−292<a<−1+292.\frac{-1 - \sqrt{29}}{2} < a < \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}.2−1−29​​<a<2−1+29​​.

Теперь рассмотрим запрещённые значения.



--- Пусть x=ax = ax=a — корень квадратного уравнения.
Подставим x=ax = ax=a в уравнение: a2−2(a+1)a+2a2+3a−6=0.a^2 - 2(a + 1)a + 2a^2 + 3a - 6 = 0.a2−2(a+1)a+2a2+3a−6=0.

Упростим: a2+a−6=0,a^2 + a - 6 = 0,a2+a−6=0,
откуда a=−3илиa=2.a = -3 \quad \text{или} \quad a = 2.a=−3илиa=2.

Оба значения удовлетворяют условию D>0D > 0D>0.
Проверим их.
Если a=2a = 2a=2, то квадратное уравнение имеет вид x2−6x+8=0,x^2 - 6x + 8 = 0,x2−6x+8=0,
то есть x=2илиx=4.x = 2 \quad \text{или} \quad x = 4.x=2илиx=4.

Но x≠2x \neq 2x=2, значит, остаётся единственное решение x=4x = 4x=4.
Если a=−3a = -3a=−3, то квадратное уравнение имеет вид x2+4x+3=0,x^2 + 4x + 3 = 0,x2+4x+3=0,
то есть x=−1илиx=−3.x = -1 \quad \text{или} \quad x = -3.x=−1илиx=−3.

Но x≠−3x \neq -3x=−3, значит, остаётся единственное решение x=−1x = -1x=−1.

--- Пусть x=−3x = -3x=−3 — корень квадратного уравнения.
Подставим x=−3x = -3x=−3 в уравнение: (−3)2−2(a+1)(−3)+2a2+3a−6=0.(-3)^2 - 2(a + 1)(-3) + 2a^2 + 3a - 6 = 0.(−3)2−2(a+1)(−3)+2a2+3a−6=0.

Упростим: 9+6(a+1)+2a2+3a−6=0,9 + 6(a + 1) + 2a^2 + 3a - 6 = 0,9+6(a+1)+2a2+3a−6=0, 2a2+9a+9=0.2a^2 + 9a + 9 = 0.2a2+9a+9=0.

Найдём корни: D=92−4⋅2⋅9=81−72=9,D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9,D=92−4⋅2⋅9=81−72=9, a1,2=−9±34.a_{1,2} = \frac{-9 \pm 3}{4}.a1,2​=4−9±3​.

Следовательно, a=−3илиa=−32.a = -3 \quad \text{или} \quad a = -\frac{3}{2}.a=−3илиa=−23​.

Значение a=−3a = -3a=−3 уже было получено выше.

Проверим a=−32a = -\frac{3}{2}a=−23​.

Тогда квадратное уравнение имеет вид x2+x−6=0,x^2 + x - 6 = 0,x2+x−6=0,
то есть x=−3илиx=2.x = -3 \quad \text{или} \quad x = 2.x=−3илиx=2.

Но x≠−3x \neq -3x=−3, значит, остаётся единственное решение x=2x = 2x=2.

Итак, все подходящие значения параметра:
a=−1−292,a=−1+292,a=−3,a=−32,a=2.a = \frac{-1 - \sqrt{29}}{2}, \quad a = \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}, \quad a = -3, \quad a = -\frac{3}{2}, \quad a = 2.a=2−1−29​​,a=2−1+29​​,a=−3,a=−23​,a=2.

Ответ: −1−292,−1+292,−3,−32,2\dfrac{-1-\sqrt{29}}{2},\quad \dfrac{-1+\sqrt{29}}{2},\quad -3,\quad -\dfrac{3}{2},\quad 22−1−29​​,2−1+29​​,−3,−23​,2