Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 5x2−6ax+a2x2−4x+a=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Рассмотрим знаменатель и найдём его нули:
5x2−6ax+a2=0;D=36a2−4⋅5⋅a2=16a2;x1=106a+4a=a,x2=106a−4a=5a. Исходное уравнение будет иметь ровно два корня, когда уравнение x2−4x+a=0 имеет два корня и оба не равны ни a, ни 5a.
Найдём при каких a нули знаменателя являются нулями числителя, для этого подставим x=a и x=5a в уравнение: x2−4x+a=0. 1) x=a: \quad a2−4a+a=0,a2−3a=0,a(a−3)=0; a=0,a=3. 2) x=5a: \quad 25a2−54a+a=0,25a2+5a=0,5a(5a+1)=0; a=0,a=−5. Уравнение x2−4x+a=0 имеет два корня, когда его дискриминант положителен.
D=42−4a=16−4a;16−4a>0;a<4. Следовательно, a<4,a=0,a=3,a=−5.
