Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x+2x−2a+x−ax−1=1 имеет ровно один корень.
Решение
Перенесём все слагаемые влево и приведём к общему знаменателю:
(x−a)(x+2)(x−a)(x−2a)+(x+2)(x−1)−(x+2)(x−a)=0;(x−a)(x+2)x2−ax−2ax+2a2+x2+x−2−x2−2x+ax+2a=0;(x−a)(x+2)x2−(2a+1)x+2a2+2a−2=0. Найдём при каких a нули знаменателя x=a и x=−2 обнуляют числитель:
1)x=a: a2−(2a+1)a+2a2+2a−2=0;a2−2a2−a+2a2+2a−2=0;a2+a−2=0;a=1,a=−2. 2) x=−2: (−2)2−(2a+1)(−2)+2a2+2a−2=0;4+4a+2+2a2+2a−2=0;2a2+6a+4=0;a2+3a+2=0;a=−1,a=−2. Заметим, что при a=−2:\ x=a=−2, то есть корни a и −2 совпадают.
Исходное уравнение будет иметь ровно один корень в следующих случаях:
a) числитель имеет ровно один корень и он отличен от a и −2. D=(2a+1)2−4(2a2+2a−2)=4a2+4a+1−8a2−8a+8=−4a2−4a+9;D=0,−4a2−4a+9=0;4a2+4a−9=0;D=16+4⋅4⋅9=160=(410)2;a1,2=8−4±410=2−1±10. a=2−1±10 не совпадают с a=−2,a=−1,a=1, значит, единственный корень числителя не обнулит знаменатель.
б) числитель имеет 2 корня, но ровно один из них совпадает с x=a и/или x=−2. Так как при a=−2,a=−1,a=1 ровно один из корней числителя совпадает с корнем знаменателя и при этом дискриминант числителя не равен 0 (так как a=2−1±10), то уравнение имеет ровно 1 корень.
