Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение x2−ax2−2x+a2−6a=0 имеет ровно два различных корня.
Решение
Уравнение равносильно системе
{x2−2x+a2−6a=0,(1)x2−a=0.(2) Рассмотрим уравнение (1): x2−2x+a2−6a=0 -- квадратное уравнение, не может иметь больше двух корней.
Два корня будет при D>0: D=4−4(a2−6a)=−4a2+24a+4;−4a2+24a+4>0;∣:(−4)a2−6a−1<0;a2−6a−1=0;D=36+4=40=(210)2;a1,2=26±210=3±10;(a−3−10)(a−3+10)<0.
При a<0: уравнение x2=a не имеет решений.
При a⩾0:x=±a - нули знаменателя.
Найдём a⩾0, при которых x=a или x=−a являются корнями уравнения (1): a) x=a: (a)2−2a+a2−6a=0;a2−5a−2a=0;a(aa−5a−2)=0. a=0 будет корнем уравнения, рассмотрим aa−5a−2=0: t=a,t3−5t−2=0;(t3+8)−5t−10=0;(t+2)(t2−2t+4)−5(t+2)=0;(t+2)(t2−2t+4−5)=0;[t+2=0,t2−2t−1=0;[t=−2,t1,2=1±2;a=−2<0,нетрешений,a=1+2,a=1−2<0,нетрешений.a=(1+2)2=3+22. Получаем a=0 и a=3+22. б) x=−a: (−a)2+2a+a2−6a=0;a2−5a+2a=0;a(aa−5a+2)=0. a=0 будет корнем уравнения, рассмотрим aa−5a+2=0: t=a,t3−5t+2=0;(t3−8)−5t+10=0;(t−2)(t2+2t+4)−5(t−2)=0;[t−2=0,t2+2t−1=0;[t=2,t1,2=−1±2;a=2,a=−1+2,a=−1−2<0,∅;[a=4,a=(2−1)2=3−22. Получаем a=4 и a=3−22.
