Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 15x2−8ax+a2x2+4x−a=0 имеет ровно два различных решения.
Решение
Рассмотрим знаменатель и найдём его нули:15x2−8ax+a2=0;D=64a2−4⋅15⋅a2=4a2;x1=308a+2a=3a,x2=308a−2a=5a.Исходное уравнение будет иметь ровно два корня, когда уравнение x2+4x−a=0 имеет два корня и оба не равны ни 3a, ни 5a.
Найдём при каких a нули знаменателя являются нулями числителя, для этого подставим x=3a и x=5a в уравнение: x2+4x−a=0.
1) x=3a: \quad 9a2+34a−a=0,9a2+3a=0,3a(3a+1)=0;a=0,a=−3.2) x=5a: \quad 25a2+54a−a=0,25a2−5a=0,5a(5a−1)=0;a=0,a=5.Уравнение x2+4x−a=0 имеет два корня, когда его дискриминант положителен.D=42+4a=16+4a;16+4a>0;a>−4.Следовательно, a>−4,a=−3,a=0,a=5.
