Рациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметромЕГЭ 2026 (резерв)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

\dfrac{x^2+4x-a}{15x^2-8ax+a^2}=0

имеет ровно два различных решения.

Решение

Рассмотрим знаменатель и найдём его нули:

15x^2 - 8ax + a^2 = 0;

D = 64a^2 - 4 \cdot 15 \cdot a^2 = 4a^2;

x_1 = \frac{8a + 2a}{30} = \dfrac{a}{3}, \quad x_2 = \frac{8a - 2a}{30} = \frac{a}{5}.

Исходное уравнение будет иметь ровно два корня, когда уравнение

x^2+4x-a=0

имеет два корня и оба не равны ни

\dfrac{a}{3}

, ни

\dfrac{a}{5}

.

Найдём при каких

a

нули знаменателя являются нулями числителя, для этого подставим

x=\dfrac{a}{3}

x=\dfrac{a}{5}

в уравнение:

x^2+4x-a=0

.

1)

x = \dfrac{a}{3}

\dfrac{a^2}{9} + \dfrac{4a}{3} - a = 0

\dfrac{a^2}{9} + \dfrac{a}{3} = 0

\dfrac{a}{3}\left(\dfrac{a}{3} + 1\right) = 0

;

a = 0, \quad a = -3.

x = \dfrac{a}{5}

\dfrac{a^2}{25} + \dfrac{4a}{5} - a = 0

\dfrac{a^2}{25} - \dfrac{a}{5} = 0

\dfrac{a}{5}\left(\dfrac{a}{5} - 1\right) = 0

;

a = 0, \quad a = 5.

Уравнение

x^2 + 4x - a = 0

имеет два корня, когда его дискриминант положителен.

D=4^2 + 4a=16 + 4a;

16 + 4a>0;

a > -4.

Следовательно,

a > - 4, \a \neq -3,\a \neq 0,\a \neq 5.

Ответ:

a \in (-4; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)

Похожие задачи