Найти все значения параметра a, при каждом из которых среди значений функции
y=6+x2x2−2x−2a есть ровно одно целое число.
Решение
Выделим целую часть:
x2+6x2−2x−2a=x2+6x2+6−6−2x−2a=1−x2+62x+2a+6. Проверим, может ли функция быть равна 1:
1−x2+62x+2a+6=1,x2+62x+2a+6=0,2x=−2a−6,x=−a−3. Получим, что при любом a существует x=−a−3, при котором y=1. Значит, значение 1 у этой функции есть всегда.
Для того, чтобы условия задачи выполнялись, нужно, чтобы не было других целых значений.
Заметим, что функция y=y(x) непрерывна, значит,
нам достаточно сделать так, чтобы она не
принимала значения 0 и 2.
1) y(x)=0:x2−2x−2a=0. Это уравнение не должно иметь решений, то есть D<0. D=4+8a<0,a<−0,5. 2) y(x)=2:x2+6x2−2x−2a=2;∣⋅(x2+6)=0 x2−2x−2a=2x2+12. Уравнениеx2+2x+2a+12=0 – недолжноиметьрешений, тогда D=4−8a−48<0;−8a<44;a>−5,5. Пересекая оба условия, получим:
{a<−0,5,a>−5,5;a∈(−5,5;−0,5).
