Рациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026МИОО 2010

Найти все значения параметра

a

, при каждом из которых среди значений функции

y = \frac{x^2 - 2x - 2a}{6 + x^2}

есть ровно одно целое число.

Решение

Выделим целую часть:

\quad \frac{x^2 - 2x - 2a}{x^2 + 6} = \frac{x^2 + 6 - 6 - 2x - 2a}{x^2 + 6} = 1 - \frac{2x + 2a + 6}{x^2 + 6}.

Проверим, может ли функция быть равна 1:

1 - \frac{2x+2a+6}{x^2+6} = 1, \quad \frac{2x+2a+6}{x^2+6} = 0, \quad 2x = -2a - 6, \quad x = -a - 3.

Получим, что при любом

a

существует

x = -a - 3

, при котором

y = 1

. Значит, значение 1 у этой функции есть всегда.
Для того, чтобы условия задачи выполнялись, нужно, чтобы не было других целых значений.
Заметим, что функция

y = y(x)

непрерывна, значит,
нам достаточно сделать так, чтобы она не
принимала значения 0 и 2.

1)

y(x) = 0: \quad x^2 - 2x - 2a = 0.

Это уравнение не должно иметь решений, то есть

D < 0.

D = 4 + 8a < 0, \quad a < -0,5.

y(x) = 2: \quad \dfrac{x^2 - 2x - 2a}{x^2 + 6} = 2; \quad | \cdot (x^2 + 6) \neq 0 \\

x^2 - 2x - 2a = 2x^2 + 12.

\text{Уравнение}~~ x^2 + 2x + 2a + 12 = 0 \text{ -- не должно иметь решений, тогда}

D = 4 - 8a - 48 < 0;\\-8a < 44; \\a > -5,5.

Пересекая оба условия, получим:

\begin{cases}a < -0,5, \\a > -5,5;\end{cases} \quad a \in (-5,5; -0,5).

Ответ:

(-5,5; -0,5)

Рациональные уравнения с параметром — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи