Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Уравнения

МЦКО

а) Решите уравнение

\cos{\left(2x + \dfrac{\pi}{7}\right)} = \sin{(x + \pi)} + \cos{x}\cdot \cos{\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right)}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[0;\pi]

Решение

а) Представим

\cos{\left(2x + \dfrac{\pi}{7}\right)} = \cos{\left(x + \left(x + \dfrac{\pi}{7}\right)\right)},

воспользуемся формулой косинуса суммы и формулой приведения:

\cos{x}\cdot\cos{\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right)} - \sin{x}\cdot\sin{\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right)} = -\sin{x} + \cos{x}\cdot\cos{\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right)};

\sin{x}\left(1 - \sin{\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right)}\right) = 0;

\left[ \begin{array}{l} \sin{x} = 0,\\ \sin{\left(x + \dfrac{\pi}{7}\right)} = 1; \end{array} \right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x = \pi k,\\ x + \dfrac{\pi}{7} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}; \end{array} \right. \quad\Rightarrow\quad \left[ \begin{array}{l} x = \pi k,\\ x = \dfrac{5\pi}{14} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

[0;\pi]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попали следующие корни:

0, \dfrac{5\pi}{14}, \pi.

Ответ: а)

\pi k, \dfrac{5\pi}{14} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}

; б)

0, \dfrac{5\pi}{14}, \pi

Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи