а) Решите уравнение sinxcos2x… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Преподаватель

УравненияЕГЭ 2023

а) Решите уравнение

\sin{x}\cos{2x} -\sqrt{2}\cos^2{x}+\sin{x}=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение

а) Воспользуемся формулой:

\cos 2x = 2 \cos^2x -1.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

\sin x(2\cos ^2x -1) + \sin x - \sqrt{2}\cos ^2x = 0;

\sin x (2\cos ^2x -1+1) - \sqrt{2} \cos ^2 x =0;

2\sin x \cos ^2x - \sqrt{2} \cos^2x =0;

\cos^2x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0;

Получаем:

\left[ \begin{gathered} \cos x =0, \ \\ \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}. \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \dfrac{\pi}{2}+\pi k, \ \\ x = \dfrac{\pi}{4}+ 2\pi k, \ \\ x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}. \end{gathered} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.