а) Решите уравнение
sin2x+22cos(x+4π)−1=0. б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π;−211π].
Решение
а) Используя формулы косинуса суммы и синуса двойного аргумента, получим:
2sinxcosx+22(cosxcos4π−sinxsin4π)−1=0;2sinxcosx+2cosx−2sinx−1=0. Пусть t=sinx−cosx, тогда t2=1−2sinxcosx,2sinxcosx=1−t2. Уравнение примет вид:
1−t2−2t−1=0;t2+2t=0;t=−2,t=0. Выполним обратную замену:
[sinx−cosx=−2,sinx−cosx=0;2sin(x+4π)=−2,tgx=1;sin(x+4π)=−2<−1,tgx=1;x=4π+πk,k∈Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−7π;−211π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
На отрезок попали следующие корни:
−427π,−423π. Ответ: а) 4π+πk,k∈Z; б) −427π,−423π.
