Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияЕГЭ 2026 (пересдача)

а) Решите уравнение

\sin 2x + 2\sqrt{2} \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - 1 = 0.

б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-7\pi ; -\dfrac{11\pi}{2}\right]

Решение

а) Используя формулы косинуса суммы и синуса двойного аргумента, получим:

2\sin x \cos x + 2\sqrt{2} \left(\cos x \cos \dfrac{\pi}{4} - \sin x \sin \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 = 0;

2\sin x \cos x + 2\cos x - 2\sin x - 1 = 0.

Пусть

t = \sin x - \cos x

, тогда

t^2 = 1 - 2\sin x \cos x

2\sin x \cos x = 1 - t^2

. Уравнение примет вид:

1 - t^2 - 2t - 1 = 0;

t^2 + 2t = 0;

t = -2, \quad t = 0.

Выполним обратную замену:

\left[ \begin{gathered} \sin x - \cos x = -2, \ \\ \sin x - \cos x = 0; \ \\ \end{gathered}\right. \quad \left[ \begin{gathered} \sqrt{2} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -2, \ \\ \tg x = 1; \ \\ \end{gathered}\right. \quad \left[ \begin{gathered} \sin \left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} < -1, \ \\ \tg x = 1; \ \\ \end{gathered}\right. \quad x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[ -7\pi; -\dfrac{11\pi}{2} \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{27\pi}{4},\; -\dfrac{23\pi}{4}.

Ответ: а)

\dfrac{\pi}{4} + \pi k, \ k\in \mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{27\pi}{4},\; -\dfrac{23\pi}{4}

Тригонометрия и формулы — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи