Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026Ларин

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(\ctg x+3)^2+2a^3+3a^2=(a^2+2a+3)(\ctg x+3)

имеет ровно два различных решения на интервале

\left(-\dfrac{\pi}{2};\pi\right)

Решение

Пусть

t=\ctg x+3

. Уравнение примет вид:

t^2-(a^2+2a+3)t+2a^3+3a^2=0.

По теореме, обратной теореме Виета:

\begin{cases} t_1+t_2=a^2+2a+3, \\ t_1\cdot t_2=a^2(2a+3); \end{cases} \quad \begin{cases} t_1=a^2, \\ t_2=2a+3. \end{cases}

После обратной замены получаем:

\left [\begin{gathered} \ctg x+3=a^2, \\ \ctg x+3=2a+3; \\\end{gathered}\right. \quad \left [\begin{gathered} \ctg x=a^2-3, \quad (1)\\ \ctg x=2a. \quad (2) \\\end{gathered}\right.

Проанализируем, сколько решений на промежутке

\left(-\dfrac{\pi}{2}; \pi \right)

имеет уравнение

\ctg x=b

в зависимости от значения

b

.

1) Если

b<0

, то уравнение

\ctg x=b

имеет 2 решения.
2) Если

b=0

, то уравнение

\ctg x=b

имеет 1 решение,

x=\dfrac{\pi}{2}

.
3) Если

b>0

, то уравнение

\ctg x=b

имеет 1 решение.

Таким образом, исходное уравнение будет иметь два решения в следующих случаях:

1. Правые части уравнений (1) и (2) совпадают, причём они отрицательные:

\begin{cases} 2a<0, \\ a^2-3=2a; \end{cases} \quad \begin{cases} a<0, \\ \left [ \begin{gathered} a=-1, \\ a=3; \end{gathered}\right. \end{cases} \quad a=-1.

2. Правые части уравнений (1) и (2) не совпадают, причём они неотрицательные:

\begin{cases} 2a\ge0, \\ a^2-3\ge0, \\ a^2-3\not = 2a; \end{cases} \quad \begin{cases} a\ge0, \\ (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\ge0, \\ a\not = -1, \\ a\not =3, \\ \end{cases} \quad a\in [\sqrt{3}; 3) \cup (3; +\infty).

Объединяя оба случая, получаем, что

a\in\{-1\}\cup[\sqrt{3};3) \cup (3;+\infty)

.

Ответ:

a\in\{-1\}\cup[\sqrt{3};3) \cup (3;+\infty)

Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Похожие задачи