Параметры: Найдите все значения a, при которых... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026ЕГЭ 2014 (основа)

Найдите все значения

a

, при которых уравнение

\cos^{18}x - (a - 2\cos x)^9 + 2\cos x = a - \cos^2 x

не имеет решений.

Решение

Перепишем уравнение в виде

\cos^{18}x + \cos^{2}x = (a - 2\cos x)^9 + (a - 2\cos x)

.
Пусть

u=\cos^2 x

v=a - 2\cos x

f(t)=t^9+t

. Тогда получаем уравнение вида

f(u)=f(v)

.
Рассмотрим

f(t)=t^9+t,~~ f^\prime(t)=9t^8+1

. Функция

f(t)

является монотонно возрастающей, так как её производная положительна при всех

t

.
Тогда уравнение

f(u)=f(v)

равносильно уравнению

u=v

\cos^{2}x = a - 2\cos x, \quad a = \cos^{2}x + 2\cos x.

Пусть

\cos x=z

z\in [-1;1]

, уравнение примет вид

a=z^2+2z

. Исходное уравнение будет иметь решения тогда, когда полученное уравнение имеет решения на отрезке

z\in [-1;1]

.
Выделим в правой части полный квадрат:

a=(z+1)^2-1.

Введём функцию

h(z)=(z+1)^2-1

, её графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной

(-1;-1)

. Заметим, что при

z\in [-1;1]

функция

h(z)

монотонно возрастает, значит, для того, чтобы у уравнения

a=(z+1)^2-1

были решения на промежутке

[-1;1]

, должны выполняться следующие условия:

\begin{cases} a \ge h(-1), \\ a \le h(1); \end{cases} \quad \begin{cases} a \ge -1, \\ a \le 3. \end{cases}

Таким образом, исходное уравнение имеет решение при

a\in [-1;3]

, следовательно, решений не будет при

a\in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)

.
Ответ:

a\in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)

Похожие задачи