Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026Ященко

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых множество решений неравенства

\dfrac{a - (a^2 - 2a - 3) \cos x + 4}{\sin^2 x + a^2+1} < 1

содержит отрезок

\left[-\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{2}\right]

Решение

Так как знаменатель дроби

\sin^2 x + a^2+1

всегда положителен, то домножим на него неравенство:

a - (a^2 - 2a - 3) \cos x + 4<\sin^2 x + a^2+1;\\a - (a^2 - 2a - 3) \cos x + 4-(1-\cos^2 x) - a^2-1 < 0;\\\cos^2x - (a^2 - 2a - 3) \cos x - a^2 + a +2 < 0.

Пусть

\cos x=t

t\in [-1;1]

, тогда неравенство примет вид:

t^2 - (a^2 - 2a - 3) t - a^2 + a +2<0.~~~(1)

Рассмотрим функцию

f(t)=t^2 - (a^2 - 2a - 3) t - a^2 + a +2

. Её графиком является парабола с ветвями вверх.

Функция

g(x)=\cos x

на промежутке

\left[-\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{2} \right]

принимает значения из отрезка

[0;1]

. Следовательно, множество решений исходного неравенства будет содержать отрезок

\left[-\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{2} \right]

тогда, когда множество решений неравенства (1) будет содержать отрезок

[0;1]

.

Изобразим случай, который нам подходит:

Такое положение параболы задаётся системой:

\begin{cases} f(0) <0, \\ f(1)<0; \end{cases} \quad\begin{cases} -a^2+a+2 <0, \\ 1-a^2+2a+3-a^2+a+2<0; \end{cases} \quad\begin{cases} a^2-a-2 >0, \\ 2a^2-3a-6>0; \end{cases}

\begin{cases} (a+1)(a-2)>0, \\ 2\left(a-\dfrac{3+\sqrt{57}}{4}\right)\left(a-\dfrac{3-\sqrt{57}}{4}\right)>0; \end{cases}

Получаем, что

a\in\left(-\infty; \dfrac{3-\sqrt{57}}{4}\right) \cup \left (\dfrac{3+\sqrt{57}}{4}; +\infty \right)

. \par \medskip
Ответ:

a\in\left(-\infty; \dfrac{3-\sqrt{57}}{4}\right) \cup \left (\dfrac{3+\sqrt{57}}{4}; +\infty \right)

Похожие задачи