Найдите все значения параметра α из интервала (π;2π), при каждом из которых система уравнений
⎩⎨⎧x2+y2−4(x+y)sinα+8sin2α=−2sinα−1,yx+xy=−2sinα+4sin2α имеет единственное решение.
Решение
Заметим, что переменные x и y входят в оба уравнения системы симметрично, то есть если пара (x0;y0) является решением, то пара (y0;x0) также решение.
Следовательно, для единственности решения системы эти пары должны совпадать. Получим, что x0=y0, а y0=x0, то есть решение должно иметь вид (t;t),t=0. Подставим в систему:
⎩⎨⎧t2+t2−4(t+t)sinα+8sin2α+2sinα+1=0,tt+tt+2sinα=4sin2α; {2t2−8tsinα+8sin2α+2sinα+1=0,(1)2+2sinα=4sin2α.(2) Решим уравнение (2):
4sin2α−2sinα−2=0;∣:22sin2α−sinα−1=0;u=sinα,2u2−u−1=0,u=1,u=−21;sinα=1илиsinα=−21. По условию α∈(π;2π), значит, sinα=1 -- не подходит.
Проверим, что при sinα=−21 система имеет единственное решение:
⎩⎨⎧x2+y2−4(x+y)⋅(−21)+8⋅(−21)2=−2⋅(−21)−1,yx+xy=−2⋅(−21)+4⋅(−21)2;
⎩⎨⎧x2+y2+2x+2y+2=0,yx+xy=2;⎩⎨⎧(x+1)2+(y+1)2=0,yx+xy=2;{x=−1,y=−1; система имеет единственное решение при sinα=−21, значит
αα=−6π+2πk,=−65π+2πk,k∈Z.
С учётом промежутка (π;2π) получим, что α=67π или α=611π.
