Параметр с тригонометрией — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Параметры100 параметров 2026Профиматика

Найдите все значения параметра

\alpha

из интервала

(\pi; 2\pi)

, при каждом из которых система уравнений

\begin{cases} x^2 + y^2 - 4(x + y) \sin \alpha + 8 \sin^2 \alpha = -2 \sin \alpha - 1, \\ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = -2 \sin \alpha + 4 \sin^2 \alpha \end{cases}

имеет единственное решение.

Решение

Заметим, что переменные

x

y

входят в оба уравнения системы симметрично, то есть если пара

(x_0; y_0)

является решением, то пара

(y_0; x_0)

также решение.
Следовательно, для единственности решения системы эти пары должны совпадать. Получим, что

x_0 = y_0

, а

y_0 = x_0

, то есть решение должно иметь вид

(t; t), ~t \neq 0

.
Подставим в систему:

\begin{cases}t^2 + t^2 - 4(t+t)\sin\alpha + 8\sin^2\alpha + 2\sin\alpha + 1 = 0, \\[5pt]\dfrac{t}{t} + \dfrac{t}{t} + 2\sin\alpha = 4\sin^2\alpha;\end{cases}

\begin{cases}2t^2 - 8t\sin\alpha + 8\sin^2\alpha + 2\sin\alpha + 1 = 0, \quad (1) \\2 + 2\sin\alpha = 4\sin^2\alpha. \quad (2)\end{cases}

Решим уравнение (2):

\begin{gathered}4\sin^2\alpha - 2\sin\alpha - 2 = 0; \quad |:2 \\2\sin^2\alpha - \sin\alpha - 1 = 0; \\u = \sin\alpha, \quad 2u^2 - u - 1 = 0, \quad u = 1, \quad u = -\frac{1}{2}; \\\sin\alpha = 1 \text{ или } \sin\alpha = -\frac{1}{2}.\end{gathered}

По условию

\alpha \in (\pi; 2\pi)

, значит,

\sin \alpha = 1

-- не подходит.
Проверим, что при

\sin \alpha = -\dfrac{1}{2}

система имеет единственное решение:

\begin{cases}x^2+y^2 - 4(x+y) \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) - 1, \\[10pt]\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = -2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 4 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2;\end{cases}

\begin{cases}x^2+y^2+2x+2y+2=0, \\[5pt]\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 2;\end{cases} \quad\begin{cases}(x+1)^2+(y+1)^2=0, \\[5pt]\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = 2;\end{cases} \quad\begin{cases}x=-1, \\y=-1;\end{cases}

система имеет единственное решение при

\sin \alpha = -\dfrac{1}{2},

значит

\left[ \begin{aligned} \alpha &= -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \\ \alpha &= -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \end{aligned} \right. \quad k \in \mathbb{Z}.

С учётом промежутка

(\pi; 2\pi)

получим, что

\alpha = \dfrac{7\pi}{6}

или

\alpha = \dfrac{11\pi}{6}.

Ответ:

\dfrac{7\pi}{6}; \ \dfrac{11\pi}{6}.

Похожие задачи