Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026ЕГЭ 2013 (досрок)

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

5 \cos 2x +1=2(3-4\sin x -a)\sin x

имеет хотя бы один корень.

Решение

Упростим уравнение, используя формулу косинуса двойного угла

\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

5(1 - 2\sin^2 x) + 1 = 6\sin x - 8\sin^2 x - 2a\sin x;

6 - 10\sin^2 x = 6\sin x - 8\sin^2 x - 2a\sin x;

2\sin^2 x - 2\sin x(a-3) - 6 = 0;

\sin^2 x - \sin x(a-3) - 3 = 0.

Пусть

\sin x = t, \ t \in [-1; 1]

, тогда уравнение примет вид

t^2-(a-3)t-3=0. \quad (1)

Проанализируем замену:
каждому значению

t

из отрезка

[-1;1]

соответствует бесконечное число значений

x

, тогда для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы

1

корень, уравнение (1) должно иметь хотя бы

1

корень, принадлежащий отрезку

[-1;1]

.
Будем решать задачу графически в осях

Oty.

Преобразуем уравнение к виду

t^2-3=(a-3)\cdot t.

Рассмотрим отдельно функции, стоящие в левой и правой частях уравнения.
Графиком левой части является парабола

y=t^2-3

с вершиной

(0;-3).

Графиком правой части уравнения является пучок прямых

y=(a-3)\cdot t

, закреплённый в точке

(0;0)

.
Начертим графики в системе

Oty

на промежутке

\ t \in [-1; 1]

и отметим ключевые положения прямой

y=(a-3)\cdot t

. Также подпишем количество решений в полученных областях и на их границах.
Найдём точку пересечения

t=1

y=t^2-3

y=1-3=-2.

Значит, точка пересечения имеет координаты

(1;-2).

Найдём точку пересечения

t=-1

y=t^2-3

y=1-3=-2.

Значит, точка пересечения имеет координаты

(-1;-2).

Нам нужно хотя бы одно решение, значит, подходят все положения до I и все положения после II, включая границы I и II.
Положение I. Прямая

y=(a-3)\cdot t

проходит через точку (

1;-2

), то есть

-2=a-3; \quad a=1.

Положение II. Прямая

y=(a-3)\cdot t

проходит через точку (

-1;-2

), то есть

-2=3-a; \quad a=5.

Значит,

a\in(-\infty;1]\ \cup [5;+\infty).

Ответ:

a \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)

Похожие задачи