Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Условие, ответ и разбор задачи

Задача с параметром100 параметров 2026ФИПИСтатГрад 25.01.2018

Найдите все значения параметра

a

, при каждом из которых уравнение

(2x+a+1+\tg x)^2=(2x+a-1-\tg x)^2

имеет единственное решение на отрезке

\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]

Решение

Воспользуемся формулой разности квадратов:

(2x+a+1+\tg x)^2-(2x+a-1-\tg x)^2=0;

(2x+a+1+\tg x-2x-a+1+\tg x)(2x+a+1+\tg x+2x+a-1-\tg x)=0;

(2\tg x+2)(4x+2a)=0;

\begin{cases} \left [\begin{gathered} \tg x=-1, \\ x=-\dfrac{a}{2}, \end{gathered}\right. \\ \cos x \not =0; \end{cases} \quad \begin{cases} \left [\begin{gathered} x=-\dfrac{\pi}{4} + \pi k, \ k\in \mathbb{Z}, \\ x=-\dfrac{a}{2}, \end{gathered}\right. \\ x \not =\dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n\in \mathbb{Z}. \end{cases}

Выясним, сколько решений на отрезке

\left [-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right]

имеет уравнение с учётом ограничения

x \not =\dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n\in \mathbb{Z}

.
1 случай:

x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k, \ k\in \mathbb{Z}.

Отрезку

\left [-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2} \right]

принадлежит только

x=-\dfrac{\pi}{4}

. \par \medskip
Этот корень всегда принадлежит отрезку и удовлетворяет ограничению.

2 случай:

x=-\dfrac{a}{2}.

Найдём, при каких

a

корень

x=-\dfrac{a}{2}

принадлежит отрезку и удовлетворяет ограничениям:

\begin{cases} -\dfrac{\pi}{2}\le -\dfrac{a}{2}\le \dfrac{\pi}{2}, \\[2ex] -\dfrac{a}{2} \not = -\dfrac{\pi}{2}, \\[2ex] -\dfrac{a}{2} \not = \dfrac{\pi}{2}; \end{cases} \quad \begin{cases} -\pi \le a\le \pi, \\[1ex] a \not = \pi, \\[1ex] a \not = -\pi; \end{cases} \quad a\in (-\pi; \pi).

Рассмотрим совпадение корней

x=-\dfrac{a}{2}

x=-\dfrac{\pi}{4}

-\dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{a}{2}, \quad a=\dfrac{\pi}{2}.

Начертим ось параметра. Нанесём на неё найденные корни и для каждого из них отметим значения параметра, при которых они существуют. Перемычками покажем совпадения корней. Запустим вертикальную считывающую прямую. Количество точек её пересечений с графиком -- число решений. Под рисунком подпишем количество корней на каждом полученном промежутке и на их границах. Выберем те значения параметра, при которых ровно один корень:

Рисунок 1 к решению задачи №19: Параметр с тригонометрией

Получаем, что ровно один корень будет при

a\in (-\infty; -\pi] \cup \left \{\dfrac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty)

.

Ответ:

a\in (-\infty; -\pi] \cup \left \{\dfrac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty)

Параметры: Найдите все значения параметра a, при каждом... — задача

Похожие задачи