Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаМЦКО

В кубе

ABCDA_1B_1C_1D_1

точки

K,\ P, \ M \ -

центры граней

AA_1B_1B, \ BB_1C_1C, \ ABCD

соответственно.

а) Докажите, что

D_1KPM-

правильная пирамида.

б) Найдите объём этой пирамиды, если ребро куба равно

24.

Решение

а) Так как точки

K

P

M

— центры граней

AA_1BB_1

BB_1C_1C

ABCD

соответственно, то

K

— середина

B_1A

M

— середина

AC

P

— середина

B_1C

. Значит,

KP

KM

MP

— средние линии

\triangle AB_1C

.
Тогда получаем, что

\triangle AB_1C

— правильный, так как все его стороны являются диагоналями равных квадратов. Значит,

KP = KM = MP = \dfrac{1}{2}AC

, то есть

\triangle KPM

— правильный.

Из равенства

\triangle KA_1D_1 = \triangle D_1MD = \triangle D_1PC_1

по двум катетам (

A_1D_1 = DD_1 = D_1C_1

как рёбра куба,

A_1K = MD = PC_1

как половины диагоналей равных квадратов) получаем, что

KD_1 = MD_1 = PD_1

.
Следовательно,

D_1KPM

— правильная пирамида, ч.т.д.

б) Так как

AC

— диагональ квадрата со стороной 24, то

AC = 24\sqrt{2}

.
Тогда

KM = KP = PM = 12\sqrt{2}

.
В

\triangle D_1MD

по теореме Пифагора:

DD_1^2 + DM^2 = D_1M^2, \quad D_1M = \sqrt{DD_1^2 + DM^2} = \sqrt{(12\sqrt{2})^2 + 24^2} = 12\sqrt{6}.

Пусть

D_1O

— высота пирамиды

D_1KPM

KH

— медиана

\triangle KPM

KH = KP \cdot \sin 60^{\circ} = 12\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{6}.

Так как

O

— центр треугольника

KPM

, то

\dfrac{KO}{OH} = \dfrac{2}{1}, \quad KO = \dfrac{2}{3}KH = 4\sqrt{6}.

\triangle D_1OK

по теореме Пифагора:

D_1O^2 + OK^2 = D_1K^2, \quad D_1O = \sqrt{D_1K^2 - OK^2} = \sqrt{(12\sqrt{6})^2 - (4\sqrt{6})^2} = 16\sqrt{3}.

Найдём объём пирамиды

D_1KPM

V_{D_1KPM} = \dfrac{1}{3} \cdot S_{KPM} \cdot D_1O = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(12\sqrt{2})^2\cdot \sqrt{3}}{4} \cdot 16\sqrt{3} = 1152.

Ответ: 1152.

Похожие задачи