В кубе ABCDA1B1C1D1 точки K,P,M− центры граней AA1B1B,BB1C1C,ABCD соответственно.
а) Докажите, что D1KPM− правильная пирамида.
б) Найдите объём этой пирамиды, если ребро куба равно 24.
Решение
а) Так как точки K,P,M -- центры граней AA1BB1,BB1C1C и ABCD соответственно, то K -- середина B1A,M -- середина AC,P -- середина B1C. Значит, KP,KM,MP -- средние линии △AB1C. Тогда получаем, что △AB1C -- правильный, так как все его стороны являются диагоналями равных квадратов. Значит, KP=KM=MP=21AC, то есть △KPM -- правильный.
Из равенства △KA1D1=△D1MD=△D1PC1 по двум катетам (A1D1=DD1=D1C1 как рёбра куба, A1K=MD=PC1 как половины диагоналей равных квадратов) получаем, что KD1=MD1=PD1. Следовательно, D1KPM -- правильная пирамида, ч.т.д.
б) Так как AC -- диагональ квадрата со стороной 24, то AC=242. Тогда KM=KP=PM=122. В △D1MD по теореме Пифагора:
DD12+DM2=D1M2,D1M=DD12+DM2=(122)2+242=126. Пусть D1O -- высота пирамиды D1KPM,KH -- медиана △KPM. KH=KP⋅sin60∘=122⋅23=66. Так как O -- центр треугольника KPM, то
OHKO=12,KO=32KH=46. В △D1OK по теореме Пифагора:
D1O2+OK2=D1K2,D1O=D1K2−OK2=(126)2−(46)2=163.
Найдём объём пирамиды D1KPM: VD1KPM=31⋅SKPM⋅D1O=31⋅4(122)2⋅3⋅163=1152.
