В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основание ABCD является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке O. Плоскость, содержащая диагональ AC и параллельная прямой B1D, пересекает ребро BB1 в точке K. Угол между плоскостями (ABC) и (ACK) равен 45∘.
а) Докажите, что угол KOB меньше 45∘.
б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1.
Решение
а) Так как B1D∥(ACK), то OK∥B1D. Значит, OK -- средняя линия △BB1D, то есть K -- середина BB1.
Пусть BT -- высота △ABC, тогда BT -- это проекция прямой KT на плоскость (ABC), значит, по теореме о трёх перпендикулярах KT⊥AC. (ABC)∩(ACK)=AC, значит, ∠KTB=∠((ABC);(ACK)). Так как ∠KTB=45∘, то △BTK -- равнобедренный и BK=BT. В △ABC по теореме Пифагора:
AC2=AB2+BC2,AC=AB2+BC2=62+82=10. AC=BD как диагонали прямоугольника, BO=21BD=5. Запишем площадь △ABC двумя способами:
S△ABC=21AB⋅AC=21BT⋅AC,BT=ACAB⋅BC=106⋅8=4,8. В △BKO получаем
tg∠KOB=BOBK=54,8=0,96. Так как tgx возрастает на промежутке [0;2π) и tg∠KTB>tg∠KOB, то ∠KOB<45∘, ч.т.д.
б) BB1=2BK=2⋅4,8=9,6. Найдём объём параллелепипеда:
VABCDA1B1C1D1=AB⋅BC⋅BB1=8⋅6⋅9,6=52304. Ответ: 52304.
