Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГКР 10.12.2024

В прямоугольном параллелепипеде

ABCDA_1B_1C_1D_1

основание

ABCD

является прямоугольником со сторонами 6 и 8, диагонали которого пересекаются в точке

O

. Плоскость, содержащая диагональ

AC

и параллельная прямой

B_1D

, пересекает ребро

BB_1

в точке

K

. Угол между плоскостями

(ABC)

(ACK)

равен

45^\circ

.

а) Докажите, что угол

KOB

меньше

45^\circ

.

б) Найдите объём прямоугольного параллелепипеда

ABCDA_1B_1C_1D_1

Решение

а) Так как

B_1D \parallel (ACK)

, то

OK \parallel B_1D

. Значит,

OK

— средняя линия

\triangle BB_1D

, то есть

K

— середина

BB_1

.

Пусть

BT

— высота

\triangle ABC

, тогда

BT

— это проекция прямой

KT

на плоскость

(ABC)

, значит, по теореме о трёх перпендикулярах

KT \perp AC

(ABC) \cap (ACK) = AC

, значит,

\angle KTB = \angle ((ABC); (ACK))

.
Так как

\angle KTB = 45^{\circ}

, то

\triangle BTK

— равнобедренный и

BK = BT

.
В

\triangle ABC

по теореме Пифагора:

AC^2 = AB^2 + BC^2, \quad AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10.

AC = BD

как диагонали прямоугольника,

BO = \dfrac{1}{2}BD = 5

.
Запишем площадь

\triangle ABC

двумя способами:

S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} BT \cdot AC, \quad BT = \dfrac{AB\cdot BC}{AC} = \dfrac{6\cdot 8}{10} = 4,8.

\triangle BKO

получаем

\tg \angle KOB = \dfrac{BK}{BO} = \dfrac{4,8}{5} = 0,96.

Так как

\tg x

возрастает на промежутке

\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right)

\tg \angle KTB > \tg \angle KOB

, то

\angle KOB < 45^{\circ}

, ч.т.д.

б)

BB_1 = 2BK = 2\cdot 4,8 = 9,6

.
Найдём объём параллелепипеда:

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = AB \cdot BC \cdot BB_1 = 8 \cdot 6 \cdot 9,6 = \dfrac{2304}{5}.

Ответ:

\dfrac{2304}{5}

Похожие задачи