Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаМЦКО

В кубе

ABCDA_1B_1C_1D_1

точка

P

— середина ребра

CC_1

. Плоскость

PBA_1

пересекает ребро

C_1D_1

в точке

Q

.

а) Докажите, что

Q

— середина

C_1D_1

.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью

PBA_1

, если объём куба равен

216.

Решение

а) Плоскость

(PBA_1)

пересекает параллельные плоскости

(AA_1B)

(CC_1D)

по параллельным прямым, значит,

A_1B \parallel QP

\triangle QC_1P \sim \triangle A_1B_1B

по двум углам, так как

\angle QC_1P = \angle A_1B_1B = 90^{\circ}

\angle BA_1B_1 = \angle PQC_1

как сонаправленные при

AB_1 \parallel QP

. Тогда запишем отношения сходственных сторон:

\dfrac{QP}{A_1B} = \dfrac{C_1P}{BB_1} = \dfrac{QC_1}{A_1B_1} = \dfrac{1}{2}, \quad C_1Q = \dfrac{1}{2}A_1B_1 = \dfrac{1}{2}C_1D_1,

то есть

Q

-- середина

C_1D_1

, ч.т.д.

б)

\triangle A_1D_1Q = \triangle BPC

по двум катетам (

A_1D_1 = BC

D_1Q = CP

), значит,

BP = A_1Q

.

Так как

A_1Q = BP

A_1B \parallel QP

QP = \dfrac{1}{2} A_1B

, то

A_1BPQ

-- равнобедренная трапеция.

Объём куба равен 216, значит, его ребро равно 6.
Из

\triangle AA_1B

получаем, что

A_1B = 6\sqrt{2}, \quad QP = \dfrac{1}{2}A_1B = 3\sqrt{2}.

Из

\triangle BPC

получаем, что

BP^2 = BC^2 + CP^2, \quad BP = \sqrt{BC^2 + CP^2} = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}.

Пусть

QQ'

PP'

-- высоты трапеции

A_1QPB

Тогда

Q'P' = 3\sqrt{2}

A_1Q' = P'B = \dfrac{6\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}

.
Из

\triangle A_1QQ'

по теореме Пифагора

A_1Q^2 = QQ'^2 + A_1Q'^2, \quad QQ' = \sqrt{A_1Q^2 - A_1Q'^2} = \sqrt{45 - \dfrac{9}{2}} = \dfrac{9}{\sqrt{2}}.

Найдём площадь трапеции:

S_{A_1QPB} = \dfrac{QP + A_1B}{2} \cdot QQ' = \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) \cdot \dfrac{9}{\sqrt{2}} = \dfrac{81}{2}.

Ответ:

\dfrac{81}{2}

Похожие задачи