В кубе ABCDA1B1C1D1 точка P -- середина ребра CC1. Плоскость PBA1 пересекает ребро C1D1 в точке Q.
а) Докажите, что Q -- середина C1D1.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью PBA1, если объём куба равен 216.
Решение
а) Плоскость (PBA1) пересекает параллельные плоскости (AA1B) и (CC1D) по параллельным прямым, значит, A1B∥QP.
△QC1P∼△A1B1B по двум углам, так как ∠QC1P=∠A1B1B=90∘ и ∠BA1B1=∠PQC1 как сонаправленные при AB1∥QP. Тогда запишем отношения сходственных сторон:
A1BQP=BB1C1P=A1B1QC1=21,C1Q=21A1B1=21C1D1, то есть Q -- середина C1D1, ч.т.д.
б) △A1D1Q=△BPC по двум катетам (A1D1=BC и D1Q=CP), значит, BP=A1Q.
Так как A1Q=BP,A1B∥QP,QP=21A1B, то A1BPQ -- равнобедренная трапеция.
Объём куба равен 216, значит, его ребро равно 6.
Из △AA1B получаем, что
A1B=62,QP=21A1B=32. Из △BPC получаем, что
BP2=BC2+CP2,BP=BC2+CP2=36+9=35. Пусть QQ′ и PP′ -- высоты трапеции A1QPB.
Тогда Q′P′=32,A1Q′=P′B=262−32=232. Из △A1QQ′ по теореме Пифагора
A1Q2=QQ′2+A1Q′2,QQ′=A1Q2−A1Q′2=45−29=29. Найдём площадь трапеции:
SA1QPB=2QP+A1B⋅QQ′=21(32+62)⋅29=281. Ответ: 281.
