Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

СтереометрияЕГКР 23.04.2022

ABCDA_1B_1C_1D_1

— прямоугольный параллелепипед, все грани которого не квадраты,

M

— середина

CD

K

— середина грани

BB_1CC_1

L

— середина грани

A_1B_1C_1D_1

. Косинус угла между прямыми

MD_1

KL

равен

\dfrac{3}{\sqrt{10}}

.
a) Докажите, что

DC=2DD_1

.
б) Найдите расстояние между прямыми

LK

D_1M

, если объем параллелепипеда

54\sqrt{3}

и угол между прямой

B_1C

и гранью

DCC_1D_1

равен

60^{\circ}

Решение

а) Так как

K

L

— середины граней

BB_1C_1C

A_1B_1C_1D_1

соответственно, то они являются и серединами

BC_1

A_1C_1

соответственно. Таким образом,

KL

— средняя линия

\triangle A_1BC_1

KL \parallel A_1B

A_1BCD_1

— параллелограмм, так как

A_1D_1 = BC

A_1D_1 \parallel BC

, значит,

D_1C \parallel A_1B

.
Получаем, что

KL \parallel D_1C

, следовательно,

\angle (D_1M; KL) = \angle (D_1M; D_1C) = \angle MD_1C

.
Пусть

DM = MC = a

DD_1 = b

$Изображение 1$

По теореме Пифагора в

\triangle DD_1M

D_1M^2 = DD_1^2 + DM^2, \quad D_1M = \sqrt{DD_1^2 + DM^2} = \sqrt{a^2 + b^2}.

По теореме Пифагора в

\triangle DD_1C

D_1C^2 = DD_1^2 + DC^2, \quad D_1C = \sqrt{DD_1^2 + DC^2} = \sqrt{4a^2 + b^2}.

По теореме косинусов в

\triangle MD_1C

MC^2 = MD_1^2 + D_1C^2 - 2MD_1\cdot D_1C\cdot \cos \angle MD_1C;

a^2 = a^2 + b^2 + 4a^2 + b^2 - 2 \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{4a^2+b^2}\cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}};

b^2 + 2a^2 = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \cdot \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{4a^2+b^2};

b^4 + 4a^2b^2 + 4a^4 = \dfrac{9}{10}(4a^4 + 5a^2b + b^4); \ \big | \cdot 10

10b^4 + 40a^2b^2 + 40a^4 = 36a^4 + 45a^2b + 9b^4;

b^4 - 5a^2b^2 + 4a^4 = 0.

Рассмотрим полученное уравнение как квадратное относительно

b^2

D = 25a^4 - 16a^4 = 9a^4;

b^2 = \dfrac{5a^2 - 3a^2}{2} = a^2, \quad b^2 = \dfrac{5a^2 + 3a^2}{2} = 4a^2.

При

b^2 = 4a^2

получим

b = 2a

, то есть грань

CC_1D_1D

— квадрат, что не удовлетворяет условию задачи.

При

b^2 = a^2

получим

b = a

, то есть

CD = 2DD_1

, ч.т.д.

б) Так как

B_1C_1 \perp (CC_1D_1)

, то

CC_1

— проекция прямой

B_1C

на плоскость

(CC_1D)

, то есть

\angle (B_1C; (CC_1D)) = \angle (B_1C; CC_1) = \angle B_1CC_1

.
Так как

CC_1 = DD_1 = a

, то в прямоугольном треугольника

B_1CC_1

имеем:

B_1C_1 = CC_1 \cdot \tg 60^{\circ} = a\sqrt{3}.

Запишем объём параллелепипеда:

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{осн} \cdot h = 2a \cdot a \cdot a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}a^3 = 54\sqrt{3}, \quad a^3 = 27, \quad a = 3.

Значит,

B_1C_1 = 3\sqrt{3}

. Так как

KL \parallel D_1C

, то

KL \parallel (CC_1D)

. Причём

D_1M \in (CC_1D)

, значит,

\rho (KL; D_1M) = \rho (KL; (CC_1D)) = \rho (L; (CC_1D))

.
Пусть

H

— середина

C_1D_1

, тогда

LH

— средняя линия

\triangle B_1C_1D_1

, то есть

LH \parallel B_1C_1

, значит,

LH \perp (CC_1D_1)

.
Получаем, что

LH = \rho (L; (CC_1D_1))

$Изображение 2$

Из треугольника

B_1C_1D_1

получаем:

LH = \dfrac{1}{2}B_1C_1 = \dfrac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.

Ответ:

\dfrac{3\sqrt{3}}{2}

Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи