Дан куб ABCDA1B1C1D1. На середине ребра BC взята точка M. Через точки A,M и C1 проведена плоскость α, пересекающая ребро A1D1 в точке K.
а) Докажите, что AC1⊥KM.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если объём куба равен 8.
Решение
а) Плоскость (AMC1) пересекает параллельные плоскости (ABC) и (A1B1C1) по параллельным прямым, значит, C1K∥AM. Плоскость (AMC1) пересекает параллельные плоскости (AA1D) и (BCC1) по параллельным прямым, значит, C1M∥AK.
Пусть P -- середина AD, тогда PD1C1M -- параллелограмм, так как MP∥D1C1 и MP=D1C1, значит, D1P∥C1M.
AKD1P -- параллелограмм, так как AK∥D1P и AP∥KD1, значит, AP=KD1, то есть K -- середина A1D1.
Прямоугольные треугольники AA1K,D1KC1,C1CM и ABM равны по двум катетам:
AA1=AB=CC1=C1D1,A1K=BM=D1K=CM. Значит, AK=KC1=C1M=AM и AKC1M -- ромб, значит, AC1⊥KM как диагонали ромба.
б) Объём куба равен 8, значит, его ребро равно 2.AC1=23 как диагональ куба. Тогда KP=2,PM=2, из треугольника KPM по теореме Пифагора получаем:
KM=KP2+PM2=4+4=22. Тогда
SAKC1M=21⋅AC1⋅KM=21⋅23⋅22=26.
