Для студентов Для учителей

Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаМЦКО

Дан куб

ABCDA_1B_1C_1D_1

. На середине ребра

BC

взята точка

M

. Через точки

A, M

и

C_1

проведена плоскость

\alpha

, пересекающая ребро

A_1D_1

в точке

K

.

а) Докажите, что

AC_1 \perp KM

.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью

\alpha

, если объём куба равен

8

.

Решение

а) Плоскость

(AMC_1)

пересекает параллельные плоскости

(ABC)

и

(A_1B_1C_1)

по параллельным прямым, значит,

C_1K \parallel AM

. Плоскость

(AMC_1)

пересекает параллельные плоскости

(AA_1D)

и

(BCC_1)

по параллельным прямым, значит,

C_1M \parallel AK

.

Пусть

P

— середина

AD

, тогда

PD_1C_1M

— параллелограмм, так как

MP \parallel D_1C_1

и

MP = D_1C_1

, значит,

D_1P \parallel C_1M

.

AKD_1P

— параллелограмм, так как

AK \parallel D_1P

и

AP \parallel KD_1

, значит,

AP = KD_1

, то есть

K

-- середина

A_1D_1

.

Прямоугольные треугольники

AA_1K

,

D_1KC_1

,

C_1CM

и

ABM

равны по двум катетам:

AA_1 = AB = CC_1 = C_1D_1, \quad A_1K = BM = D_1K = CM.

Значит,

AK = KC_1 = C_1M = AM

и

AKC_1M

-- ромб, значит,

AC_1\perp KM

как диагонали ромба.

б) Объём куба равен

8

, значит, его ребро равно

2

.

AC_1 = 2\sqrt{3}

как диагональ куба. Тогда

KP = 2

,

PM = 2

, из треугольника

KPM

по теореме Пифагора получаем:

KM = \sqrt{KP^2 + PM^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}.

Тогда

S_{AKC_1M} = \dfrac{1}{2}\cdot AC_1 \cdot KM = \dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{6}.

Ответ:

2\sqrt{6}

.