Параллелепипеды — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

Стереометрическая задачаЕГЭ 2024 (досрок)

В прямоугольном параллелепипеде

ACBDA_1B_1C_1D_1

известно, что

AB=3, AD = 4, AA_1 = 6

.
Через точки

B_1

D

параллельно

AC

проведена плоскость, пересекающая ребро

CC_1

в точке

K

.

а) Докажите, что

K

— середина

CC_1

.

б) Найдите расстояние от точки

B

до плоскости сечения.

Решение

а) Проведём через точку

D

прямую, параллельную прямой

AC

и пересекающую прямую

BC

в точке

T

. Получаем, что

AD \parallel CT

AC \parallel DT

, следовательно,

ACTD

— параллелограмм, тогда

AD=CT=4

. Треугольники

CKT

B_1KC_1

равны по двум углам и прилежащей стороне:

CT = B_1C_1=4

\angle KB_1C_1=\angle KTC

\angle TCK = \angle B_1C_1K= 90^\circ

Таким образом,

C_1K=KC

, то есть

K

— середина

CC_1

. Что и требовалось доказать.
б) Пусть

\varphi

— плоскость сечения призмы. Заметим, что

\rho(B; \varphi) = 2\rho(C; \varphi)

, так как

C

— середина

BT

.
Проведём

CP \perp KD

, так как

\triangle CKD

— равнобедренный, то

CP

— медиана этого треугольника, значит

CP= \dfrac{1}{2}KD = \dfrac{1}{2}CK\sqrt{2}= \dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

По теореме Пифагора в

\triangle CTP

TP = \sqrt{CT^2+CP^2} = \sqrt{16+\dfrac{18}{4}}= \dfrac{\sqrt{82}}{2}.

В прямоугольном треугольнике

CTP

проведём высоту

CH \perp TP

. Заметим, что

CP

— проекция

CH

на плоскость

KCD

, тогда по теореме о трёх перпендикулярах

CH \perp KD

. Получаем

CH \perp TP

CH \perp KD

, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

CH \perp KTD

, то есть

CH \perp \varphi

Значит

CH= \rho (C; \varphi)

CH = \dfrac{CP \cdot CT}{TP}= \dfrac{3\sqrt{2}\cdot 4}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{82}}{2}} = \dfrac{12}{\sqrt{41}.}

Таким образом,

\rho(B; \varphi) = 2\rho(C; \varphi) = \dfrac{24}{\sqrt{41}}.

Ответ: б)

\dfrac{24}{\sqrt{41}}

Похожие задачи