В прямоугольном параллелепипеде ACBDA1B1C1D1 известно, что AB=3,AD=4,AA1=6. Через точки B1 и D параллельно AC проведена плоскость, пересекающая ребро CC1 в точке K.
а) Докажите, что K -- середина CC1.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.
Решение
а) Проведём через точку D прямую, параллельную прямой AC и пересекающую прямую BC в точке T. Получаем, что AD∥CT и AC∥DT, следовательно, ACTD --- параллелограмм, тогда AD=CT=4. Треугольники CKT и B1KC1 равны по двум углам и прилежащей стороне: CT=B1C1=4,∠KB1C1=∠KTC и ∠TCK=∠B1C1K=90∘.
Таким образом, C1K=KC, то есть K --- середина CC1. Что и требовалось доказать.
б) Пусть φ --- плоскость сечения призмы. Заметим, что ρ(B;φ)=2ρ(C;φ), так как C --- середина BT. Проведём CP⊥KD, так как △CKD --- равнобедренный, то CP --- медиана этого треугольника, значит
CP=21KD=21CK2=232. По теореме Пифагора в △CTP: TP=CT2+CP2=16+418=282. В прямоугольном треугольнике CTP проведём высоту CH⊥TP. Заметим, что CP --- проекция CH на плоскость KCD, тогда по теореме о трёх перпендикулярах CH⊥KD. Получаем CH⊥TP и CH⊥KD, следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, CH⊥KTD, то есть CH⊥φ.
Значит CH=ρ(C;φ) и
CH=TPCP⋅CT=2⋅28232⋅4=41.12 Таким образом,
ρ(B;φ)=2ρ(C;φ)=4124. Ответ: б) 4124.
