Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияЕГЭ 2022 (досрок)

а) Решите уравнение

4^{\sin x}+4^{\sin(\pi+x)}=\dfrac52.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]

Решение

а) По формуле приведения

\sin(\pi+x)=-\sin x.

Тогда уравнение принимает вид

4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\dfrac52.

То есть

4^{\sin x}+\dfrac{1}{4^{\sin x}}=\dfrac52.

Пусть

t=4^{\sin x}

. Так как

-1\leqslant \sin x\leqslant 1

, то

\dfrac14\leqslant t\leqslant 4.

Получаем уравнение

t+\dfrac1t=\dfrac52.

Так как

t>0

, умножим обе части уравнения на

2t

2t^2+2=5t,

2t^2-5t+2=0,

D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9.

Тогда

t_1=\dfrac{5+\sqrt9}{2\cdot 2}=\dfrac{5+3}{4}=2,

t_2=\dfrac{5-\sqrt9}{2\cdot 2}=\dfrac{5-3}{4}=\dfrac12.

Оба значения принадлежат промежутку

\left[\dfrac14;4\right]

.

Вернёмся к переменной

x

4^{\sin x}=2\quad \text{или} \quad4^{\sin x}=\dfrac12.

Так как

2=4^{\frac12}, \qquad \dfrac12=4^{-\frac12},

получаем

\sin x=\dfrac12\quad \text{или} \quad\sin x=-\dfrac12.

Следовательно,

x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\quad \text{или} \quadx=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На данный отрезок попадают корни

\dfrac{17\pi}{6}

\dfrac{19\pi}{6}

\dfrac{23\pi}{6}

.

Ответ: а)

x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2\pi n

x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n

n\in\mathbb Z

; б)

\dfrac{17\pi}{6}

\dfrac{19\pi}{6}

\dfrac{23\pi}{6}

Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи