Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияМЦКО

a) Решите уравнение

2^{\sin x}\cdot8^{\cos 2x}=\dfrac{1}{16}.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-7\pi;-6\pi\right]

Решение

а) Упростим выражения, используя свойства степеней:

8^{\cos 2x} = 2^{3\cos 2x}, \quad \dfrac{1}{16} = 2^{-4}.

Тогда уравнение примет вид:

2^{\sin x}\cdot2^{3\cos 2x} = 2^{-4};

Тогда уравнение примет вид:

2^{\sin x + 3\cos 2x} = 2^{-4};

\sin x + 3\cos 2x = -4.

Используя формулу косинуса двойного аргумента, получаем:

\sin x + 3(1-2\sin^2 x) = -4;

\sin x + 3-6\sin^2 x = -4;

6\sin^2 x - \sin x - 7 = 0.

Пусть

\sin x = t

, тогда уравнение примет вид:

6t^2 - t - 7 = 0;

D = 1 + 168 = 169;

t_1 = \dfrac{1 + 13}{2\cdot 6} = \dfrac{7}{6}, \quad t_2 = \dfrac{1 - 13}{2\cdot 6} = -1.

Возвращаясь к исходной переменной, имеем:

\left[ \begin{gathered} \sin x = \dfrac{7}{6}, \ \\ \sin x = -1. \end{gathered}\right.

Так как

\dfrac{7}{6} > 1

, то уравнение

\sin x = \dfrac{7}{6}

не имеет решений.

\sin x = -1, \quad x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k\in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-7\pi;-6\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попали следующие корни:

-\dfrac{13\pi}{2}.

Ответ: а)

-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k\in\mathbb{Z}

; б)

-\dfrac{13\pi}{2}

Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи