б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7π;−6π].
Решение
а) Упростим выражения, используя свойства степеней:
8cos2x=23cos2x,161=2−4. Тогда уравнение примет вид:
2sinx⋅23cos2x=2−4; Тогда уравнение примет вид:
2sinx+3cos2x=2−4;sinx+3cos2x=−4. Используя формулу косинуса двойного аргумента, получаем:
sinx+3(1−2sin2x)=−4;sinx+3−6sin2x=−4;6sin2x−sinx−7=0. Пусть sinx=t, тогда уравнение примет вид:
6t2−t−7=0;D=1+168=169; t1=2⋅61+13=67,t2=2⋅61−13=−1. Возвращаясь к исходной переменной, имеем:
sinx=67,sinx=−1. Так как 67>1, то уравнение sinx=67 не имеет решений.
sinx=−1,x=−2π+2πk,k∈Z. б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [−7π;−6π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
