Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатград 20.03.2024

а) Решите уравнение

\sqrt{2\sin^2 x+10\sin x+2}=\sqrt{\sin x+7}

.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]

Решение

а) Решим уравнение

\sqrt{2\sin^2 x+10\sin x+2}=\sqrt{\sin x+7}.

Для корней квадратных имеем:

\sqrt{f}=\sqrt{g} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} f=g,\\ g\geqslant 0. \end{cases}

В нашем случае получаем систему

\begin{cases} 2\sin^2 x+10\sin x+2=\sin x+7,\\ \sin x+7\geqslant 0. \end{cases}

Второе условие выполняется всегда, так как

-1\leqslant \sin x \leqslant 1 \quad \Rightarrow \quad 6\leqslant \sin x+7\leqslant 8.

Тогда остаётся решить уравнение

2\sin^2 x+10\sin x+2=\sin x+7,

то есть

2\sin^2 x+9\sin x-5=0.

Введём замену:

\sin x=t.

Получаем квадратное уравнение

2t^2+9t-5=0.

Найдём дискриминант:

D=9^2-4\cdot 2\cdot(-5)=81+40=121=11^2.

Тогда

t_{1,2}=\dfrac{-9\pm 11}{4}.

Отсюда

t_1=-5,\qquad t_2=\dfrac{1}{2}.

Так как

\sin x\in[-1;1]

, значение

t=-5

не подходит. Значит,

\sin x=\dfrac{1}{2}.

Тогда

x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k \qquad \text{или} \qquad x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попал только один корень:

x=-\dfrac{11\pi}{6}.

Ответ: а)

x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi k

x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k

k\in\mathbb Z

; б)

-\dfrac{11\pi}{6}

Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи