а) Решите уравнение (25^cos x)^sin… — Уравнения — ЕГЭ

Школьник

Студент

Учитель

УравненияЕГКР 23.04.2022

а) Решите уравнение

(25^{\cos x})^{\sin x}=5^{\sqrt{2}\sin x}.

\par \medskip
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]

Решение

а) Заметим, что по свойствам степени

\left(25^{\cos x}\right)^{\sin x} = \left(5^{2\cos x}\right)^{\sin x} = 5^{2\cos x \sin x}.

Тогда исходное уравнение примет вид:

5^{2\cos x \sin x} = 5^{\sqrt{2}\sin x}.

Воспользуемся монотонностью показательной функции:

2\cos x \sin x = \sqrt{2}\sin x;

\sin x (2\cos x - \sqrt{2}) = 0;

\left[ \begin{gathered} \sin x = 0, \ \\ 2\cos x - \sqrt{2} = 0; \ \end{gathered}\right. \quad \left[ \begin{gathered} \sin x = 0, \ \\ \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}; \ \end{gathered}\right. \quad \left[ \begin{gathered} x = \pi k, \ \\ x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k; \ \end{gathered}\right. \ k\in \mathbb{Z}.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$