Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Условие, ответ и разбор задачи

УравненияСтатГрад 11.02.2025

а) Решите уравнение

49^{-\sqrt{1-\sin^2x}}-49^{\cos x}= -\dfrac{48}{7}

.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4 \pi\right]

Решение

Преобразуем показатель степени первого слагаемого:

\sqrt{1 - \sin^2x} = \sqrt{\cos ^2x} = |\cos x|.

Тогда уравнение примет вид:

49^{ -|\cos x|} - 49^{\cos x} = -\dfrac{48}{7}.

Рассмотрим два случая:

1 случай:

\cos x <0

, тогда

|\cos x| = -\cos x

. Уравнение примет вид

49^{\cos x} - 49^{\cos x} = - \dfrac{48}{7};

0 = -\dfrac{48}{7}.

Следовательно, решений нет.

2 случай:

\cos x \geq 0

, тогда

|\cos x| = \cos x

. Уравнение примет вид

49^{-\cos x} - 49^{\cos x} = - \dfrac{48}{7};

\dfrac{1}{49^{\cos x}} - 49^{\cos x} = - \dfrac{48}{7}.

Сделаем замену

t= 49^{\cos x}

при этом

t >0

\dfrac{1}{t}- t + \dfrac{48}{7}=0; \quad | \cdot 7t > 0

7 - 7t^2 + 48t =0;

7t^2-48t-7 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение:

D = (-48)^2- 4 \cdot 7 \cdot (-7)=2304+ 196 = 2500=50^2.

t_1 = \dfrac{48 + 50}{14} = \dfrac{98}{14}=7, \ t_2 = \dfrac{48-50}{14}=-\dfrac{1}{7}~-~не~подходит.

Сделаем обратную замену:

49^{\cos x} = 7;

7^{2\cos x} = 7^1;

2 \cos x =1;

\cos x =\dfrac{1}{2};

x= \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.

б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

На отрезок попал корень

x = \dfrac{11\pi}{3}

.

Ответ: а)

\pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{11\pi}{3}

Тригонометрия и показательные выражения — задача ЕГЭ по профильной математике

Похожие задачи