а) Решите уравнение 49−1−sin2x−49cosx=−748. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [25π;4π].
Решение
Преобразуем показатель степени первого слагаемого:1−sin2x=cos2x=∣cosx∣.Тогда уравнение примет вид:49−∣cosx∣−49cosx=−748.Рассмотрим два случая:
1 случай:
cosx<0, тогда ∣cosx∣=−cosx. Уравнение примет вид49cosx−49cosx=−748;0=−748.Следовательно, решений нет.
2 случай:
cosx≥0, тогда ∣cosx∣=cosx. Уравнение примет вид49−cosx−49cosx=−748;49cosx1−49cosx=−748.Сделаем замену t=49cosx при этом t>0:t1−t+748=0;∣⋅7t>07−7t2+48t=0;7t2−48t−7=0.Решим полученное квадратное уравнение:D=(−48)2−4⋅7⋅(−7)=2304+196=2500=502.t1=1448+50=1498=7,t2=1448−50=−71−неподходит.Сделаем обратную замену:49cosx=7;72cosx=71;2cosx=1;cosx=21;x=±3π+2πk,k∈Z.б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [25π;4π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
