а) Решите уравнение 49−1−sin2x−49cosx=−748. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [25π;4π].
Решение
Преобразуем показатель степени первого слагаемого:
1−sin2x=cos2x=∣cosx∣. Тогда уравнение примет вид:
49−∣cosx∣−49cosx=−748. Рассмотрим два случая:
1 случай:
cosx<0, тогда ∣cosx∣=−cosx. Уравнение примет вид
49cosx−49cosx=−748; 0=−748. Следовательно, решений нет.
2 случай:
cosx≥0, тогда ∣cosx∣=cosx. Уравнение примет вид
49−cosx−49cosx=−748; 49cosx1−49cosx=−748. Сделаем замену t=49cosx при этом t>0: t1−t+748=0;∣⋅7t>0 7−7t2+48t=0; 7t2−48t−7=0. Решим полученное квадратное уравнение:
D=(−48)2−4⋅7⋅(−7)=2304+196=2500=502. t1=1448+50=1498=7,t2=1448−50=−71−неподходит. Сделаем обратную замену:
49cosx=7; 72cosx=71; 2cosx=1; cosx=21; x=±3π+2πk,k∈Z.
б)
Отберём корни, принадлежащие отрезку [25π;4π], с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.
