а) Решите уравнение 16^sin x + 16^sin(x+π) =… — Уравнения — ЕГЭ

Уравнения

ФИПИ

а) Решите уравнение

16^{\sin x} + 16^{\sin(x+\pi)} = \frac{17}{4}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right]

Решение

а) Воспользуемся формулой приведения:

\sin(x+\pi) = -\sin x.

Тогда уравнение принимает следующий вид:

16^{\sin x} + \frac{1}{16^{\sin x}} = \frac{17}{4}.

Сделаем замену

t = 16^{\sin x} > 0

t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}.

Умножим обе части уравнения на

t > 0

t^2 + 1 = \frac{17}{4}t;

4t^2 + 4 = 17t;

4t^2 - 17t + 4 = 0;

Решим полученное квадратное уравнение:

\sqrt{D} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225};

t_{1, 2} = \frac{17 \pm 15}{8}.

Получаем:

t_1 = \frac{32}{8} = 4,\quad t_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.

Сделаем обратную замену:

\left[ \begin{array}{l} 16^{\sin x} = 4,\\ 16^{\sin x} = \dfrac{1}{4}. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 2^{4\sin x} = 2^2,\\ 2^{4\sin x} = 2^{-2}. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} 4\sin x = 2,\\ 4\sin x = -2. \end{array} \right. \Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} \sin x = \dfrac{1}{2},\\ \sin x = -\dfrac{1}{2}. \end{array} \right. \Leftrightarrow\;

\Leftrightarrow\; \left[ \begin{array}{l} x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\\[3mm] x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. \end{array} \right.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right]

, с помощью тригонометрической окружности. Отметим на окружности начало и конец промежутка, выделим полученную дугу и нанесём решения, найденные в пункте а) и попавшие на неё.

$Изображение 1$

На отрезок попали следующие корни:

\frac{11\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6}.

Ответ:

\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

; б)

\dfrac{11\pi}{6},\ \dfrac{13\pi}{6},\ \dfrac{17\pi}{6}