В классе больше 10, но не больше 26 человек, доля девочек не более 46%.
а) Может ли в классе быть 9 девочек?
б) Может ли в классе быть 55% девочек, если придёт ещё одна?
в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка?
Решение
Пусть в классе d девочек и m мальчиков. Тогда10<d+m≤26иd+md≤10046=5023.a) Проверим, может ли быть d=9.
Тогда должно выполняться неравенство9+m9≤5023.Получаем:450≤23(9+m),450≤207+23m,23m≥243.Значит,m≥102313.Например, при m=11 получаем 20 человек в классе и209=45%.Это не больше 46\%, значит, такой класс возможен.
б) Предположим, что после прихода одной девочки доля девочек стала равна 55\%.
Тогдаd+m+1d+1=10055=2011.После прихода одной девочки в классе будет от 12 до 27 человек. Чтобы доля равнялась 2011, общее количество человек должно быть кратно 20. В нашем диапазоне подходит толькоd+m+1=20.Тогдаd+1=11,откудаd=10.Значит, до прихода девочки в классе было 19 человек, из них 10 девочек. Тогда доля девочек была1910>5023,поскольку10⋅50=500>437=19⋅23.Получили противоречие с условием.
в) Сначала покажем, что доля больше 50\% невозможна.
Если после прихода одной девочки доля девочек больше 50\%, тоd+m+1d+1>21.Тогда2d+2>d+m+1,d+1>m.Так как d и m --- целые числа, получаемd≥m.Но из условияd+md≤5023<21,значит,d<m.Получили противоречие. Следовательно, после прихода одной девочки доля девочек не может быть больше 50\%.
Теперь покажем, что 50\% получить можно.
Возьмём класс, в которомd=5,m=6.Тогда всего в классе 11 человек, то есть условие 10<d+m≤26 выполнено.
Доля девочек сначала равна115<5023,так как5⋅50=250<253=11⋅23.Если в класс придёт ещё одна девочка, то девочек станет 6, а всего человек станет 12. Тогда доля девочек будет равна126=21=50%.Значит, максимальная доля девочек после прихода одной девочки равна 50\%.
