В классе больше 10, но не больше 26 человек, доля девочек не более 46%.
а) Может ли в классе быть 9 девочек?
б) Может ли в классе быть 55% девочек, если придёт ещё одна?
в) Какова максимальная доля девочек, если в класс придёт одна девочка?
Решение
Пусть в классе d девочек и m мальчиков. Тогда
10<d+m≤26
и
d+md≤10046=5023.
a) Проверим, может ли быть d=9.
Тогда должно выполняться неравенство
9+m9≤5023.
Получаем:
450≤23(9+m), 450≤207+23m, 23m≥243.
Значит,
m≥102313.
Например, при m=11 получаем 20 человек в классе и
209=45%.
Это не больше 46\%, значит, такой класс возможен.
б) Предположим, что после прихода одной девочки доля девочек стала равна 55\%.
Тогда
d+m+1d+1=10055=2011.
После прихода одной девочки в классе будет от 12 до 27 человек. Чтобы доля равнялась 2011, общее количество человек должно быть кратно 20. В нашем диапазоне подходит только
d+m+1=20.
Тогда
d+1=11,
откуда
d=10.
Значит, до прихода девочки в классе было 19 человек, из них 10 девочек. Тогда доля девочек была
1910>5023,
поскольку
10⋅50=500>437=19⋅23.
Получили противоречие с условием.
в) Сначала покажем, что доля больше 50\% невозможна.
Если после прихода одной девочки доля девочек больше 50\%, то
d+m+1d+1>21.
Тогда
2d+2>d+m+1, d+1>m.
Так как d и m --- целые числа, получаем
d≥m.
Но из условия
d+md≤5023<21,
значит,
d<m.
Получили противоречие. Следовательно, после прихода одной девочки доля девочек не может быть больше 50\%.
Теперь покажем, что 50\% получить можно.
Возьмём класс, в котором
d=5,m=6.
Тогда всего в классе 11 человек, то есть условие 10<d+m≤26 выполнено.
Доля девочек сначала равна
115<5023,
так как
5⋅50=250<253=11⋅23.
Если в класс придёт ещё одна девочка, то девочек станет 6, а всего человек станет 12. Тогда доля девочек будет равна
126=21=50%.
Значит, максимальная доля девочек после прихода одной девочки равна 50\%.
