В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек в такой группе?
Решение
а) Да, если 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму.
б) Пусть в группе было n юношей, из которых x отправили по письму и n−x отправили по 7 писем. Тогда в группе было n девушек и каждая из них получила k писем. Получаем уравнение:
kn=21x+4(n−x);(k−4)n=17x. Так как левая часть кратна 17, то либо n кратно 17, либо (k−4) кратно 17. Если k−4 кратно 17, то k кратно 21, значит, kmin=21. Но такое невозможно, так как есть юноши, которые отправили 4 письма. Тогда n кратно 17, значит, nmin=17.
в) Минимальное число писем, полученное всеми девушками, равно
0+1+2+…+(n−1)=2n(n−1). Максимальное количество отправленных юношами писем равно
21(n−2)+2⋅4=21n−34. Тогда справедливо неравенство 21n−34⩾2n(n−1): 42n−68⩾n2−n;n2−43n+68⩽0;D=432−4⋅68=1849−272=1577;n1=243+1577;n2=243−1577.
Оценим выражение 243+1577: 243+1577<243+1600=243+40=4121⇒nmax=41. Пример: 39 юношей отправили 21 письмо, 2 юноши отправили 4 письма, 40 девушек получили 0,1,2,…,39 писем, 41-ая получила 47 писем.
