Есть четыре коробки: в первой коробке находятся 93 камня, во второй --- 94, в третьей --- 95, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок, всего три камня, и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться 89 камней, во второй--- 94, в третьей--- 95, а в четвёртой--- 4? б) Могло ли в четвёртой коробке оказаться 282 камня?
в) Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?
Решение
а)
За один ход мы выбираем одну коробку, в которую кладём камни, а из трёх остальных берём по одному камню.
Получили нужное распределение. Значит, такая ситуация возможна.
б)
Всего камней:
93+94+95+0=282.
Значит, если в четвёртой коробке оказалось 282 камня, то в первых трёх коробках должно не остаться камней.
Рассмотрим вторую и третью коробки. Изначально в них было 94 и 95 камней, то есть числа разной чётности.
При каждом ходе в каждой коробке количество камней меняется на нечётное число: либо на −1, либо на +3. Значит, чётность количества камней в каждой коробке меняется на противоположную.
Поэтому вторая и третья коробки всегда будут иметь разную чётность.
Но если в них стало бы 0 и 0, то они имели бы одинаковую чётность. Противоречие.
Значит, такая ситуация невозможна.
в)
В каждом ходе количество камней в каждой коробке меняется либо на −1, либо на +3.
В обоих случаях остаток от деления числа камней на 4 изменяется одинаково: он уменьшается на 1. Действительно, 3=4−1, то есть прибавить 3 — это то же самое, что уменьшить остаток на 1.
Значит, при каждом ходе остаток количества камней в каждой коробке уменьшается на 1 по модулю 4. Поэтому если какие-то коробки имели разные остатки при делении на 4, то они и дальше будут иметь разные остатки.
Во второй, третьей и четвёртой коробках изначально было:
94,95,0.
Их остатки при делении на 4 различны
94даётостаток2;95даётостаток3;96даётостаток0; Значит, во второй, третьей и четвёртой коробках всегда будут три разных остатка при делении на 4.
Если в первой коробке больше 279 камней, то в остальных трёх коробках суммарно меньше 3 камней.
Но три числа с разными остатками при делении на 4 не могут иметь сумму меньше
0+1+2=3.
Значит, в первой коробке не может быть больше 279 камней.
Покажем, что 279 камней получить можно.
Сначала 24 раза кладём камни в четвёртую коробку:
(93;94;95;0)⟶(69;70;71;72).
Затем 70 раз кладём камни в первую коробку:
(69;70;71;72)⟶(279;0;1;2). Значит, наибольшее возможное число камней в первой коробке равно 279.
