В кошельке у Коли было n монет достоинством 2,5 или 10 рублей. Коля сделал несколько покупок, расплатился за каждую покупку отдельно и без сдачи только монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.
а) Могли ли покупками быть альбом за 56 рублей и кисточка за 29 рублей, если n=14?
б) Могли ли покупками быть тетрадь за 10 рублей, линейка за 15 рублей и карандаш за 20 рублей, если n=19?
в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Коля купил только набор фломастеров за 85 рублей, а n=24?
Решение
а) Заметим, что 6 рублей можно набрать только тремя монетами по 2 р, а 9 рублей -- только одной монетой 5 р и двумя монетами по 2 р. Значит, задача сводится к тому, чтобы набрать 70 рублей 8 монетами. Это можно сделать шестью монетами по 10 р и двумя монетами по 5 р. Тогда итоговый набор монет выглядит следующим образом: 6 монет по 10 р, 3 монеты по 5 р, 5 монет по 2 р.
б) Заметим, что обязательно должна быть одна монета 5 р, чтобы купить линейку. Значит, задача сводится к тому, чтобы набрать 40 рублей 18 монетами.
Возьмём 18 монет по 2 р, их сумма равна 36. Если мы заменим одну монету на монету 10 р, то сумма монет будет равна 44 р, 44>40. При замене одной и двух монет на монету по 5 р, получим 39 р и 42 р соответственно. При замене большего числа монет сумма увеличится, значит, 40 рублей мы набрать не сможем.
в) Пусть x -- количество монет 2 р, y -- количество монет 5 р, z -- количество монет 10 р. Тогда получаем систему:
{x+y+z=24,∣⋅22x+5y+10z=85⇒{2x+2y+2z=24,2x+5y+10z=85⇒3y+8z=37⇒y=337−8z. Ясно, что y⩾0, значит,
337−8z⩾0⇒8z⩽37⇒z⩽4.
Переберём возможные значения z: z=0:y=337∈/N; z=1:y=329∈/N; z=2:y=7∈N; z=3:y=313∈/N; z=4:y=35∈/N. Значит, ymin=7. Это достигается при x=15,y=7 и z=2.
